Algorisme de Borwein

L'algorisme de Borwein és un algorisme desenvolupat per Jonathan i Peter Borwein que permet el càlcul d'1/π.[1]

Es procedeix de la forma següent:[2]

Es comença amb els valors
a 0 = 6 − 4 2 {\displaystyle a_{0}=6-4{\sqrt {2}}}
y 0 = 2 − 1 {\displaystyle y_{0}={\sqrt {2}}-1}
Després s'itera amb les fórmules següents:
y k + 1 = 1 − ( 1 − y k 4 ) 1 / 4 1 + ( 1 − y k 4 ) 1 / 4 {\displaystyle y_{k+1}={\frac {1-(1-y_{k}^{4})^{1/4}}{1+(1-y_{k}^{4})^{1/4}}}}
a k + 1 = a k ( 1 + y k + 1 ) 4 − 2 2 k + 3 y k + 1 ( 1 + y k + 1 + y k + 1 2 ) {\displaystyle a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})}

k posseeix una convergència quártica 1/π; és a dir, en cada iteració es multiplica per quatre, aproximadament, el nombre de dígits correcte.

El grau de convergència s'obté de la següent desigualtat:

| 1 π − a n | <= 16 ( 4 n ) ( e − 2 π 4 n ) {\displaystyle \left|{\frac {1}{\pi }}-a_{n}\right|<=16\;(4^{n})(e^{-2\pi 4^{n}})}

Referències

  1. ↑ Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, Pi and the AGM – A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, Wiley, New York, 1987. Many of their results are available in: Jorg Arndt, Christoph Haenel, Pi Unleashed, Springer, Berlin, 2001, ISBN 3-540-66572-2
  2. ↑ Mak, Ronald. The Java Programmers Guide to Numerical Computation. Pearson Educational, 2003, p. 353. ISBN 0-13-046041-9.