Comparació de topologies

En topologia, el conjunt de totes les topologies sobre un conjunt donat és un conjunt parcialment ordenat. Aquesta relació d'ordre pot utilitzar-se per comparar topologies.

Sigui ${\displaystyle X}$ un conjunt, una topologia ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ sobre aquest conjunt és una família de subconjunts anomenats oberts que compleixen determinades condicions.

Siguin ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$ i ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}$ dues topologies sobre ${\displaystyle X}$, aleshores la topologia ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$ és més fina que ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}$ si ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}\subseteq {\mathcal {T}}_{1}}$. També, es diu que ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}$ és més gruixuda o més feble que ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$. Si la relació d'inclusió és estricta, s'afegeix el terme estrictament. Si ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}={\mathcal {T}}_{1}}$, les topologies són equivalents.

La relació d'inclusió ${\displaystyle \subseteq }$ defineix una relació parcial d'ordre sobre el conjunt de possibles topologies sobre ${\displaystyle X}$.

• La topologia més fina sobre un conjunt donat és la topologia discreta i la topologia més gruixuda és la trivial.
• Sobre els reals, la topologia estàndard és més feble que la topologia de Sorgenfrey.^[1][2]
• Sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, les topologies induïdes per la distància euclidiana, distància del màxim i distància de Manhattan són equivalents.^[1]
• Sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$, la topologia cofinita és més feble que la estàndard.^[3]

Siguin ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}}$ i ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{2}}$ dues topologies sobre ${\displaystyle X}$. Les següents condicions són equivalents:

• ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}\subseteq {\mathcal {T}}_{2}}$
• La funció identitat ${\displaystyle id_{X}\colon (X,{\mathcal {T}}_{2})\rightarrow (X,{\mathcal {T}}_{1})}$ és contínua.
• La funció identitat ${\displaystyle id_{X}\colon (X,{\mathcal {T}}_{1})\rightarrow (X,{\mathcal {T}}_{2})}$ és oberta.

• Espai topològic

• Munkres, James R. Topologia (en anglès). 2ª. Prentice Hall, 2000, p. 77–78. ISBN 0-13-181629-2.