Coordenades el·líptiques

Sistema de coordenades el·líptiques.

Les coordenades el·líptiques són un sistema bidimensional de coordenades curvilínies ortogonals en els quals les línies coordenades són el·lipses confocals i hipèrboles. Els dos focus F 1 {\displaystyle F_{1}} i F 2 {\displaystyle F_{2}} estan generalment fixes en les posicions x = − a {\displaystyle x=-a} i x = + a {\displaystyle x=+a} , respectivament, sobre l'eix O X {\displaystyle OX} d'un sistema cartesià els eixos són eixos de simetria de les línies coordenades hiperbòliques i el·líptiques.

Les coordenades el·líptiques cilíndriques són un sistema tridimensional obtingut fent girar el sistema anterior al voltant de l'eix de focus i afegint una coordenada angular polar addicional.

Definició

La definició més comuna de les coordenades el·líptiques bidimensionals ( μ , ν ) {\displaystyle (\mu ,\nu )} és:

{ x = a   cosh ⁡ μ   cos ⁡ ν y = a   sinh ⁡ μ   sin ⁡ ν {\displaystyle {\begin{cases}x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \\y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{cases}}}

On:

μ {\displaystyle \mu \,} és un nombre real no negatiu i
ν ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \nu \in [0,2\pi )\,} .

En el pla complex, hi ha una relació equivalent donada per:

x + i y = a   cosh ⁡ ( μ + i ν ) {\displaystyle x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )}

Aquestes definicions corresponen a el·lipses i hipèrboles. La identitat trigonomètrica:

x 2 a 2 cosh 2 ⁡ μ + y 2 a 2 sinh 2 ⁡ μ = cos 2 ⁡ ν + sin 2 ⁡ ν = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}

mostra que les corbes amb μ {\displaystyle \mu \,} constant són el·lipses, mentre que la identitat trigonomètrica hiperbòlica:

x 2 a 2 cos 2 ⁡ ν − y 2 a 2 sin 2 ⁡ ν = cosh 2 ⁡ μ − sinh 2 ⁡ μ = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}

mostra que les corbes amb ν {\displaystyle \nu \,} constant són hipèrbolas.

Aplicacions

Les aplicacions clàssiques de les coordenades el·líptiques són resolució de equacions en derivades parcials com l'equació de Laplace o l'equació de Helmholtz, per a les quals les coordenades líptiques admeten separació de variables. Un exemple típic és la càrrega elèctrica que envolta un conductor pla d'amplada 2 a . O el camp de dues càrregues elèctriques puntuals del mateix signe a una distància 2 a .