Derivada feble
En matemàtiques, una derivada feble és una generalització del concepte de derivada d'una funció (derivada forta) per a funcions no derivables, sinó només integrables, és a dir que pertanyen a l'Espai de Lebesgue . Vegeu distribucions per a una definició fins i tot més general.
Definició
Sia una funció en l'espai de Lebesgue . Es Diu que en és un derivada feble de si
per a tota funció infinitament derivable amb . Aquesta definició està motivada per la tècnica d'integració d'integració per parts.
Generalitzant a n dimensions, si i pertanyen a l'espai de funcions localment integrables per a algun conjunt obert , i si és un multiíndex, es diu que és la derivada feble de si
per a tot , és a dir, per a tota funció infinitament diferenciables amb suport compacte en . Si té uns derivada feble, aquesta s'escriu sovint ja que les derivades febles són úniques (com a mínim, tret d'un conjunt de mesura zero, vegeu més avall).
Exemples
- La funció valor absolut u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, que no és diferenciable a t = 0, té una derivada feble v coneguda com la funció signe donada per
- Aquesta no és l'única derivada feble per a u: qualsevol w que sigui igual a v gairebé a tot arreu és també un derivada feble de u. Normalment, això no és un problema, ja que en la teoria de espais Lp i espais de Sóbolev, les funcions que són iguals gairebé a tot arreu s'identifiquen.
- La funció característica dels nombres racionals no és diferenciable enlloc però té una derivada feble a tot arreu. Com que la mesura de Lebesgue dels nombres racionals és zero,
- Així és el derivada feble de . Fixeu-vos que això està d'acord amb la intuïció ja que quan es considera com a membre d'un espai Lp, s'identifica amb la funció zero.
Propietats
Si dues funcions són derivades febles de la mateixa funció, són iguals excepte en un conjunt amb mesura de Lebesgue zero, és a dir, són iguals gairebé a tot arreu. Si es consideren classes d'equivalència de funcions, on dues funcions són equivalents si són iguals gairebé a tot arreu, llavors la derivada feble és única.
També, si u és diferenciable en el sentit convencional llavors la seva derivada feble és idèntica (en el sentit donat a dalt) a la seva derivada convencional (forta). Així la derivada feble és una generalització de la forta. A més, les regles clàssiques per a les derivats de sumes i productes de funcions també es compleixen per a la derivada feble.
Extensions
Aquest concepte causa a les solucions febles en espais de Sóbolev, que són útils per a problemes d'equacions diferencials i en anàlisi funcional.
Vegeu també
- Subderivada
Referències
- Gilbarg, D.; Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Berlín: Springer, 2001, p. 149. ISBN 3-540-41160-7.
- Evans, Lawrence C. Partial differential equations. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1998, p. 242. ISBN 0-8218-0772-2.
- Knabner, Peter; Angermann, Lutz. Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. Nova York: Springer, 2003, p. 53. ISBN 0-387-95449-X.