L'any 1931, per il·lustrar el comportament dels electrons en un potencial periòdic, R. de L. Kronig i W. G. Penney van considerar un potencial quadrat unidimensional que s'aproximés als potencials que es troben a la pràctica i permetés obtenir una solució exacta de l'equació de Schrödinger.[1] Aquest potencial té un període
i consisteix en pous quadrats, distribuïts de tal manera que l'energia potencial
de l'electró és igual a zero quan
, i és igual a
quan
.
La funció d'ona de l'electró satisfà l'equació de Schrödinger per a tot
:
és a dir:
Segons el teorema de Bloch, la funció d'ona d'un electró en un potencial unidimensional de període
es pot expressar com una funció de Bloch de la forma
on
.
Considerem el cas en què
. Si definim les constants
i
com
i
i substituïm la funció de Bloch a l'equació de Schrödinger, s'obtenen les equacions diferencials següents:
Les solucions generals d'aquestes equacions són:
on
,
,
i
són constants arbitràries.
Com que la funció d'ona i la seva derivada han de ser contínues en tot
, aleshores
i
també han de ser contínues en tot
. Per tant, tenint en compte la periodicitat de
, les condicions de contorn han de ser les següents:
és a dir:
Aquest sistema d'equacions té, com a mínim, una solució determinada si:
Desenvolupant aquest determinant, s'obté, després d'un càlcul llarg i laboriós:
A partir d'aquí, Kronig i Penney consideren el cas en què les barreres de potencial s'aproximen a funcions delta, és a dir,
i
. En aquest cas, si es defineix
aleshores l'equació anterior s'escriu com:
Com que
és real, el membre de la dreta només pren valors entre
i
. Per tant, per tal que l'equació es satisfaci, el membre de l'esquerra només pot prendre valors entre
i
.
Bibliografia
- A. J. Dekker. Solid state physics. Reimpr. 1a ed. Londres: MacMillan, 1990.
- J. P. McKelvey. Solid state and semiconductor physics. Reimpr. 1a ed. Florida: Krieger, 1984.
- F. Seitz. The modern theory of solids. 1a ed. Nova York: McGraw-Hill, 1940.
Referències
- ↑ R. de L. Kronig i W. G. Penney, "Quantum mechanics of electrons in crystal lattices", Proc. Roy. Soc. A 130, 499 (1931).