Sinus del topòleg

El sinus del topòleg, dins l'entorn de topologia, és una corba continguda en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ utilitzada sovint per il·lustrar determinades propietats dels espais topològics.^[1] S'utilitza especialment a manera d'exemple d'espai topològic que és connex però no connex per camins.

Una definició usual del sinus del topòleg és l'adherència de la corba

${\displaystyle A=\left\{\left(x,{\mbox{sin}}\left({\tfrac {1}{x}}\right)\right),\ x\in (0,1]\right\}}$,

presentada ${\displaystyle {\bar {A}}}$, i que es defineix al seu torn com la unió de ${\displaystyle A}$ amb el seu frontera, el segment

${\displaystyle \partial A=\{(0,i),\ i\in [-1,1]\}}$

A mesura que x s'acosta a zero, 1/x creix cada vegada més ràpid (de fet, tendeix a infinit), per la qual cosa la freqüència de la corba sinusoidal també és cada vegada més gran. Al límit, la freqüència és infinita.

De vegades, es considera només ${\displaystyle A}$, o la unió de ${\displaystyle A}$ amb el punt ${\displaystyle (0,0)}$. També es pot considerar la funció ${\displaystyle f(x)={\mbox{sin}}({\tfrac {1}{x}})}$ definida en un interval diferent de (0,1],^[2] encara que sempre en un interval obert a 0. Fins i tot es pot fer distinció entre la "corba tancada» (${\displaystyle {\bar {A}}}$) i la« corba oberta »(${\displaystyle A}$) del sinus del topòleg.^[1]

Com adherència d'una funció contínua, ${\displaystyle {\bar {A}}}$ és un espai connex. Tanmateix, no és connex per camins, ja que no hi ha un camí ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow {\bar {A}}}$ que uneixi els punts ${\displaystyle (1,{\mbox{sin}}(1))}$ i ${\displaystyle (0,0)}$. Per veure que és així, considerem la successió formada pels punts, presos de dreta a esquerra en la gràfica, la segona component és alternativament +1 o -1. Aquesta successió no convergeix.