Sinus del topòleg
El sinus del topòleg, dins l'entorn de topologia, és una corba continguda en utilitzada sovint per il·lustrar determinades propietats dels espais topològics.[1] S'utilitza especialment a manera d'exemple d'espai topològic que és connex però no connex per camins.
Definició
Una definició usual del sinus del topòleg és l'adherència de la corba
- ,
presentada , i que es defineix al seu torn com la unió de amb el seu frontera, el segment
A mesura que x s'acosta a zero, 1/x creix cada vegada més ràpid (de fet, tendeix a infinit), per la qual cosa la freqüència de la corba sinusoidal també és cada vegada més gran. Al límit, la freqüència és infinita.
Variants
De vegades, es considera només , o la unió de amb el punt . També es pot considerar la funció definida en un interval diferent de (0,1],[2] encara que sempre en un interval obert a 0. Fins i tot es pot fer distinció entre la "corba tancada» () i la« corba oberta »() del sinus del topòleg.[1]
Propietats
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Sin_x%5E-1.svg/220px-Sin_x%5E-1.svg.png)
Com adherència d'una funció contínua, és un espai connex. Tanmateix, no és connex per camins, ja que no hi ha un camí que uneixi els punts i . Per veure que és així, considerem la successió formada pels punts, presos de dreta a esquerra en la gràfica, la segona component és alternativament +1 o -1. Aquesta successió no convergeix.