Teorema de Fuchs

En matemàtiques, el teorema de Fuchs, que duu el nom de Lazarus Fuchs, afirma que una equació diferencial de segon ordre de la forma:

${\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)}$

té una solució expressable per una sèrie de Frobenius generalitzada quan ${\displaystyle p(x)}$, ${\displaystyle q(x)}$ i ${\displaystyle g(x)}$ són funcions analítiques a ${\displaystyle x=a}$ o quan ${\displaystyle a}$ és un punt singular regular. És a dir, que qualsevol solució d'aquesta equació diferencial de segon ordre pot ser escrita com:

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n+s},\quad a_{0}\neq 0}$

per un cert valor real de s, o:

${\displaystyle y=y_{0}\ln(x-a)+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n+r},\quad b_{0}\neq 0}$

per cert valor real de r, on y₀ és una solució del primer tipus.

El seu radi de convergència és com a mínim tan gran com el mínim dels radis de convergència de ${\displaystyle p(x)}$, ${\displaystyle q(x)}$ i ${\displaystyle g(x)}$.

• Asmar, Nakhlé H. Partial differential equations with Fourier series and boundary value problems. Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, 2005. ISBN 0-13-148096-0. .
• Butkov, Eugene. Mathematical Physics. Reading, MA: Addison-Wesley, 1995. ISBN 0-201-00727-4. .