En matemàtiques, una transformació ortogonal és una transformació lineal
(on
és un espai prehilbertià) tal que conserva el producte escalar d'aquest espai.[1] És a dir, que per tot parell d'elements
es compleix
. En particular, com que els mòduls dels vectors i l'angle entre aquests en un espai prehilbertià es defineixen a partir del producte escalar, les transformacions ortogonals preserven els mòduls i els angles i, per tant, envien les bases ortonormals a bases ortonormals.
Exemples
Si prenem com a
l'espai real euclidià de dimensió 2 amb el producte escalar estàndard i la seva base canònica,
, aleshores la transformació
donada per la matriu de transformació
![{\displaystyle T={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e8292f960aeeb7b01af6f195a00a9762f69160)
és ortogonal. Per demostrar-ho, n'hi ha prou amb aplicar-la sobre els vectors de la base canònica:
![{\displaystyle {\begin{aligned}Te_{1}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}&&Te_{2}={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b95ad110ade7d311092514e198cb853f661bc9)
I veure que
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\langle Te_{1},Te_{1}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}=\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1\\&\langle Te_{1},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin(\theta )\cos(\theta )-\sin(\theta )\cos(\theta )=0\\&\langle Te_{2},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e9bdf8eec7558eb1468d6641a995640c276f258)
En l'espai real euclidià de dimensió 3 amb el producte escalar estàndard i la seva base canònica,
, alguns exemples de matrius de transformacions ortogonals són
i
.
Referències
- ↑ Weisstein, Eric W., «Transformació ortogonal» a MathWorld (en anglès).