Curieův zákon

Curieův zákon je pravidlo platící u řady paramagnetických látek, které říká, že magnetizace je při dostatečně vysoké teplotě a dostatečně slabých polích přímo úměrná intenzitě magnetického pole; při zahřívání tento vztah přestává platit. Je-li intenzita pole stálá, pak je magnetická susceptibilita nepřímo úměrná teplotě:

${\displaystyle M=\chi H,\quad \chi ={\frac {C}{T}},}$

kde

${\displaystyle \chi >0}$ je (objemová) magnetická susceptibilita,

${\displaystyle M}$ je vytvořená magnetizace (A/m),

${\displaystyle H}$ je intenzita magnetického pole (A/m),

${\displaystyle T}$ je teplota (K),

${\displaystyle C}$ je Curiova konstanta, specifická pro daný materiál (K).

Pierre Curie objevil toto pravidlo při zpracování dat z pokusu a platí jen při vysokých teplotách a slabých polích. Maximální magnetizace nastává za nízkých teplot a silných polí. Pokud je Curieova konstanta nulová, tak převažují jiné magnetické jevy, například Langevinův diamagnetismus nebo Van Vleckův paramagnetismus.

Každá částice paramagnetu má magnetický moment ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$. Energie magnetického momentu v magnetickém poli je:

${\displaystyle E=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,}$

kde ${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )}$ je hustota magnetického pole v jednotkách tesla (T).

Pro zjednodušení výpočtu se uvažují dvoustavové částice, které mohou mít směr magnetického momentu ve srovnání s magnetickým polem souhlasný nebo opačný a jediné možné hodnoty magnetického momentu tak jsou ${\displaystyle \mu }$ a ${\displaystyle -\mu }$. V takovém případě má částice jen dvě možné energie, ${\displaystyle -\mu B}$ při uspořádání ve směru magnetického pole, a ${\displaystyle +\mu B}$ při opačném uspořádání.

Gibbsova volná energie je:

${\displaystyle G=-{\frac {1}{\beta }}\log Z=-Nk_{\rm {B}}T\log Z_{1}.}$

Magnetizace je zápornou derivací volné energie vůči uvažovanému poli, a magnetizace na jednotkový objem tak činí

${\displaystyle M=n\mu \tanh {\frac {\mu B}{k_{\rm {B}}T}},}$

kde n je hustota počtu magnetických momentů.^[1]

Výše uvedený vztah se nazývá Langevinova paramagnetická rovnice. Pierre Curie vytvořil aproximaci tohoto pravidla pro vysoké teploty a slabá pole, která používal při svých pokusech. S růstem teploty a poklesem intenzity pole se parametr vyjádřený hyperbolickým tangentem snižuje. Za takových podmínek platí:

${\displaystyle {\frac {\mu B}{k_{\rm {B}}T}}\ll 1}$

Pokud ${\displaystyle |x|\ll 1}$, tak

${\displaystyle \tanh x\approx x,}$

magnetizace je tedy malá, a lze tedy použít vzorec ${\displaystyle B\approx \mu _{0}H}$, z čehož vyplývá:

${\displaystyle M\approx {\frac {\mu _{0}\mu ^{2}n}{k_{\rm {B}}}}{\frac {H}{T}}.}$

Za těchto podmínek je magnetická susceptibilita:

${\displaystyle \chi ={\frac {\partial M}{\partial H}}\approx {\frac {M}{H}}}$

což dává:

${\displaystyle \chi (T\to \infty )={\frac {C}{T}},}$

kde ${\displaystyle C=\mu _{0}n\mu ^{2}/k_{\rm {B}}}$, v kelvinech (K), je Curieova konstanta.^[2]

Jestliže mají částice libovolný spin, tak je vzorec složitější. Ve slabých magnetických polích nebo za vysokých teplot odpovídá spin Curieovu zákonu:^[3]

${\displaystyle C={\frac {\mu _{0}\mu _{\text{B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}ng^{2}J(J+1),}$

kde ${\displaystyle J}$ je celkové kvantové číslo úhlového momentu hybnosti, a ${\displaystyle g}$ faktor g (takový, že ${\displaystyle \mu =gJ\mu _{\text{B}}}$ je magnetický moment). V dvouúrovňové soustavě s magnetickým momentem ${\displaystyle \mu }$ se vzorec zjednoduší do výše uvedené podoby

$${\displaystyle C={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}n\mu _{0}\mu ^{2},}$$

Když se spin blíží nekonečnu, tak magnetizace dosahuje klasické hodnoty odvozené v následujícím oddílu.

Paramagnety si také lze představit jako klasické, volně rotující, magnetické momenty. V takovém případě je jejich polohový vektor určen úhly ve sférických souřadnicích a energie jednotlivého momentu potom bude:

${\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,}$

kde ${\displaystyle \theta }$ je úhel mezi magnetickým momentem a magnetickým polem. Odpovídající rozdělovací funkce je:

${\displaystyle Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).}$

Výsledek nezávisí na úhlu ${\displaystyle \phi }$, a tak lze proměnné upravit na ${\displaystyle y=\cos \theta }$ za vzniku:

${\displaystyle Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta }}$

Nyní je očekávaná hodnota ${\displaystyle z}$ složky magnetizace (zbylé dvě jsou v důsledku integrace podle ${\displaystyle \phi }$ nulové):

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].}$

Pro zjednodušení výpočtu lze tento výsledek zapsat jako diferenciaci ${\displaystyle Z}$:

${\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z\beta }{\frac {\partial Z}{\partial B}}={1 \over \beta }{\frac {\partial \ln Z}{\partial B}}}$

Odstraněním derivace vznikne:

${\displaystyle M=n\left\langle \mu _{z}\right\rangle =n\mu L(\mu B\beta ),}$

kde ${\displaystyle L}$ je Langevinova funkce:

${\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}}$

Tato funkce vypadá pro malá ${\displaystyle x}$ jako singulární, ovšem není, protože dvě singulární proměnné se navzájem vyruší. Chování této funkce pro malé argumenty lze popsat jako:

${\displaystyle L(x)\approx x/3}$, takže se také uplatní Curieova limita, ale s třikrát menší Curieovou konstantou. Podobně se funkce na ${\displaystyle 1}$ pro velké argumenty nasycuje, a tak se obnovuje opačná limita.

Pierre Curie v roce 1895 zpozoroval, že magnetická susceptibilita kyslíku je nepřímo úměrná jeho teplotě. Paul Langevin o deset let později představil klasické odvození tohoto vztahu.^[4]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Curie's law na anglické Wikipedii.

• Curieův–Weissův zákon