Ortogonální funkce
V matematice o dvou funkcích a řekneme, že jsou ortogonální, pokud jsou splněny tyto podmínky
- a patří do nějakého prostoru funkcí, což je vektorový prostor s bilineární formou
- definičním oborem prostoru funkcí je nějaký interval
- existuje bilineání forma definovaná jako integrál součinu funkcí na tomto intervalu:
Ortogonální funkce mohou tvořit nekonečnou bázi prostoru funkcí s podobnými vlastnostmi jako má báze vektorů v konečněrozměrném prostoru. Výše uvedený integrál je konceptuálně ekvivalentem skalárního součinu vektorů; dva vektory jsou vzájemně nezávislé (ortogonální), pokud je jejich skalární součin nulový.
Předpokládejme, že je posloupnost ortogonálních funkcí s nenulovými L2-normami . Pak posloupnost tvořená funkcemi s L2-normou jedna tvoří ortonormální posloupnost. Aby bylo možné definovat L2-normu, musí být integrál omezený, což vyžaduje, aby funkce byly integrovatelné na čtverci.
Trigonometrické funkce
Několik sad ortogonálních funkcí se používá jako báze pro aproximaci funkcí. Například sinové funkce sin nx a sin mx jsou ortogonální na intervalu pokud a n a m jsou kladná celá čísla. Pak
a integrál součinu dvou funkcí sinus bude mít nulovou hodnotu.[1] Složením těchto ortogonálních funkcí s kosinovými funkcemi vzniknou trigonometrické polynomy, které lze použít pro aproximaci libovolné funkce na daném intervalu pomocí Fourierovy řady.
Polynomy
Pokud vyjdeme od posloupnosti monomů na intervalu a použijeme Gramovu–Schmidtovu ortogonalizaci, dostaneme posloupnost Legendrových polynomů. Jiným systémem ortogonálních polynomů jsou přidružené Legendrovy polynomy.
Při studiu ortogonálních polynomů hrají důležitou roli váhové funkce které se vyskytují v bilineární formě:
Pro Laguerrovy polynomy na je váhová funkce .
Fyzikové i teoretici v teorii pravděpodobnosti používají Hermitovy polynomy na intervalu s váhovou funkcí nebo .
Čebyševovy polynomy jsou definovány na intervalu a používají váhové funkce nebo .
Zernikeovy polynomy jsou definovány na jednotkovém kruhu a mají ortogonální jak radiální tak angulární složky.
Binární-hodnocený funkce
Walshovy funkce a Haarovy vlnky jsou příkladem ortogonálních funkcí s diskrétním oborem hodnot.
Racionální funkce
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/16/ChebychevRational1.png/220px-ChebychevRational1.png)
Legendrovy a Čebyševovy polynomy jsou posloupnosti ortogonálních funkcí na intervalu Někdy jsou potřeba posloupnosti ortogonálních funkcí na intervalu . V tomto případě je pohodlné transformovat argument do intervalu použitím Cayleyovy transformace. Tento postup vede k rodině racionálních ortogonálních funkcí, které se nazývají Legendrovy racionální funkce a Čebyševovy racionální funkce.
V diferenciálních rovnicích
Řešení lineární diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami lze často zapsat jako vážený součet ortogonálních funkcí, které jsou řešením této rovnice (nazývaných také vlastní funkce), což vede k zobecněným Fourierovým řadám.
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Orthogonal functions na anglické Wikipedii.
- ↑ Zygmund 1935, s. 6.
Literatura
- ARFKEN, George B.; WEBER, Hans J., 2005. Mathematical Methods for Physicists. 6. vyd. [s.l.]: Academic Press. Kapitola 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions.
- PRICE, Justin J., 1975. Topics in orthogonal functions. American Mathematical Monthly. Roč. 82, s. 594–609. Dostupné online. DOI 10.2307/2319690.
- SANSONE, Giovanni, 1959. Orthogonal Functions. [s.l.]: Interscience Publishers.
- ZYGMUND, Antoni, 1935. Trigonometrical series. [s.l.]: University of Warsaw.
Související články
- Vlastní vektory a vlastní čísla
- Hilbertův prostor
- Karhunenova–Loèvova věta
- Lauricellova věta
- Wannierovy funkce
Externí odkazy
- Ortogonal Functions na MathWorld.