Rovnoběžník (latinsky parallelogrammum, někdy též r(h)omboid; ve starší české literatuře kosodélník) je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné.
Vlastnosti
Protější strany rovnoběžníku jsou shodné (mají stejnou délku) :
Protější úhly rovnoběžníku jsou shodné. Součet velikostí vnitřních úhlů čtyřúhelníku je 360°, součet dvou sousedních úhlů je 180°.
Velikost protilehlých úhlů má stejnou velikost, platí Průsečík úhlopříček e, f rovnoběžníku je jeho středem souměrnosti. Úhlopříčka rozděluje rovnoběžník na dva shodné trojúhelníky.
Úhlopříčky rovnoběžníku se vzájemně půlí. Délky úhlopříček se počítají podle vzorce:
Rovnoběžník je středově souměrný, středem souměrnosti je průsečík jeho úhlopříček.
Shrnutí vlastností čtyřúhelníků. [1]
ROVNOBĚŽNÍKY
čtverec
obdélník
kosočtverec
kosodélník
všechny strany jsou stejně dlouhé
sousední strany mají různé délky
všechny strany jsou stejně dlouhé
sousední strany mají různé délky
všechny vnitřní úhly jsou pravé
žádný vnitřní úhel není pravý
úhlopříčky se navzájem půlí
úhlopříčky mají stejnou délku
úhlopříčky mají různé délky
úhlopříčky jsou k sobě kolmé
úhlopříčky nejsou k sobě kolmé
úhlopříčky jsou k sobě kolmé
úhlopříčky nejsou k sobě kolmé
úhlopříčky půlí vnitřní úhly
úhlopříčky nepůlí vnitřní úhly
úhlopříčky půlí vnitřní úhly
úhlopříčky nepůlí vnitřní úhly
Obsah
Obsah rovnoběžníku je roven: ,
kde a jsou délky přilehlých stran rovnoběžníku a je výška ke straně , obdobně je výška ke straně , je vnitřní úhel mezi přilehlými stranami.
V rovině
Pokud jsou vrcholy zadány pomocí souřadnic v rovině, tj. , , atd., je obsah rovnoběžníku roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných tří vrcholů takto
Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol s počátkem souřadného systému, tj. , pak tedy
Zcela analogicky lze spočítat objem libovolného rovnoběžnostěnu, resp. nadobjem libovoného -rozměrného nadrovnoběžnostěnu (v -rozměrném prostoru).
V trojrozměrném prostoru
Pokud jsou vrcholy zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. , , atd., a zavedeme-li stranové vektory
je obsah rovnoběžníku roven euklidovské normě (délce) vektoru , kde "" značí vektorový součin dvou vektorů. Tedy
Pokud mají směrové vektory nulové složky ve směru osy , tj.
pak
čímž dostaneme právě vztah pro výpočet obsahu rovnoběžníka v rovině.
Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol s počátkem souřadného systému, tj. , pak
v obecném případě, respektive
v případě, že směrové vektory mají navíc nulové složky ve směru osy .
Zobecněním vektorového součinu do -rozměrného prostoru (jedná se o součin lineárně nezávislých vektorů délky , jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimi, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat nadobsah libovolného -rozměrného nadrovnoběžníku v -rozměrném prostoru.
V n-rozměrném (reálném) prostoru
Pokud je rovnoběžník dán dvěma stranovými vektory v obecném reálném -rozměrném prostoru
pak jeho obsah je dán vztahem
kde "", resp. "" značí skalární součin dvou vektorů.
Dosazením
opět dostáváme známý vztah pro obsah rovnoběžníku v rovině.
Reference
↑ODVÁRKO, Oldřich; KADLEČEK, Jiří. Matematika pro 7. ročník základní školy. [3], Shodnost. Středová souměrnost. Čtyřúhelníky, hranoly. 1. vyd. vyd. Praha: Prometheus, 1999. 87 s. Dostupné online. ISBN80-7196-129-9, ISBN978-80-7196-129-1. OCLC 41530899
Literatura
Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN80-85849-92-5, str. 97
Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN978-80-7358-083-4, str. 54-55
Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.