Choquet-Rand

Der Choquet-Rand, benannt nach Gustave Choquet, ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Es handelt sich dabei um einen Rand einer kommutativen Banachalgebra, der stets im Schilow-Rand enthalten ist.

Es sei ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorffraum und ${\displaystyle C(X)}$ die Banachalgebra der stetigen Funktionen ${\displaystyle X\rightarrow \mathbb {C} }$ mit der Supremumsnorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$. Eine Funktionenalgebra über ${\displaystyle X}$ ist eine Unteralgebra ${\displaystyle A\subset C(X)}$, die die konstanten Funktionen enthält und die Punkte trennt, das heißt, für zwei verschiedene Punkte ${\displaystyle x,y\in X}$ gibt es ein ${\displaystyle f\in A}$ mit ${\displaystyle f(x)\not =f(y)}$.

Es sei weiter ${\displaystyle \|\cdot \|}$ eine Algebrennorm auf ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A^{*}}$ sei der zugehörige Dualraum und schließlich

${\displaystyle A_{1}^{*}:=\{f\in A\mid \|f\|=f(1)=1\}}$

der sogenannte Zustandsraum von ${\displaystyle A}$, wobei mit 1 hier auch die konstante Funktion 1 bezeichnet sei, die ja definitionsgemäß in ${\displaystyle A}$ enthalten ist und dort die Rolle eines Einselements spielt. Dies ist eine konvexe, schwach-*-kompakte Menge in ${\displaystyle A^{*}}$ und besitzt daher nach dem Satz von Krein-Milman viele Extremalpunkte. Es sei ${\displaystyle \mathrm {ext} (A_{1}^{*})}$ die Menge dieser Extremalpunkte.

Für jedes ${\displaystyle x\in X}$ ist die Punktauswertung ${\displaystyle \delta _{x}\colon A\rightarrow \mathbb {C} ,\,\delta _{x}(f):=f(x)}$ offenbar ein Element aus ${\displaystyle A_{1}^{*}}$. Wir interessieren uns nun für diejenigen Punkte ${\displaystyle x\in X}$, für die ${\displaystyle \delta _{x}}$ sogar ein Extremalpunkt des Zustandsraums ist:

${\displaystyle \chi A:=\{x\in X\mid \delta _{x}\in \mathrm {ext} (A_{1}^{*})\}}$     heißt Choquet-Rand von ${\displaystyle A}$.^[1]

Ist ${\displaystyle A}$ eine beliebige kommutative Banachalgebra mit Einselement und ist ${\displaystyle X_{A}}$ ihr Gelfand-Raum, so definiert man ${\displaystyle \chi A}$ als den Choquet-Rand der Funktionenalgebra der Gelfand-Transformierten in ${\displaystyle C(X_{A})}$. Die letzte Definition kann in konstruierten Fällen in Konflikt zur ersten geraten, denn ist eine kommutative Banachalgebra ${\displaystyle A}$ auch als eine Funktionenalgebra in einer Algebra ${\displaystyle C(X)}$ realisiert, so muss ${\displaystyle X}$ nicht notwendigerweise der Gelfand-Raum von ${\displaystyle A}$ sein.

Ist ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorffraum und ${\displaystyle A\subset C(X)}$ eine Funktionenalgebra, gilt^[2]

• ${\displaystyle \chi A\not =\emptyset }$, der Choquet-Rand ist nicht leer.
• ${\displaystyle \chi A}$ ist ein Rand für ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle {\overline {\chi A}}=\partial A}$, das heißt, der Choquet-Rand liegt dicht im Schilow-Rand.

Ist ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorffraum und ${\displaystyle A\subset C(X)}$ eine abgeschlossene Funktionenalgebra, so stimmt der Bishop-Rand mit dem Choquet-Rand überein und ist eine G_δ-Menge.^[3][4][5]

• Ist ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorffraum, so ist ${\displaystyle \chi C(X)=X}$ und stimmt daher mit dem Schilow-Rand überein. Es gibt Beispiele für Räume ${\displaystyle X}$, für die der Bishop-Rand von ${\displaystyle C(X)}$ leer ist, z. B. ${\displaystyle X=[0,1]^{\mathbb {R} }}$.^[6]
• Das Standardbeispiel und Vorbild für die Entwicklung des Randbegriffs ist die Diskalgebra ${\displaystyle A(\mathbb {D} )\subset C(\mathbb {D} )}$ auf dem Einheitskreis ${\displaystyle \mathbb {D} :=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}}$. Hier stimmen ebenfalls Choquet-Rand und Schilow-Rand überein und sind gleich dem topologischen Rand ${\displaystyle \partial \mathbb {D} :=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}}$.

• Wir geben nun eine Funktionenalgebra an, für die der Choquet-Rand nicht abgeschlossen ist. Dazu sei

${\displaystyle X:=\mathbb {D} \cup [0,1]\cdot e_{3}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ mit der Relativtopologie.

${\displaystyle X}$ ist ein kompakter Raum und ${\displaystyle C(X)}$ enthält die Funktionenalgebra

${\displaystyle A:=\{f\in C(X)\mid f|_{\mathrm {int} (\mathbb {D} )}{\text{ ist holomorph }}\}}$,

wobei ${\displaystyle \mathrm {int} (\mathbb {D} )}$ das Innere des Einheitskreises bezeichne. Für den Schilow-Rand ${\displaystyle \partial A}$ zeigt man

${\displaystyle \partial A=\partial \mathbb {D} \cup [0,1]\cdot e_{3}}$.

Im Artikel zum Bishop-Rand wurde begründet, dass dieser gleich

${\displaystyle \partial \mathbb {D} \cup (0,1]\cdot e_{3}=\partial A\setminus \{(0,0,0)\}}$

ist. Nach obiger Beziehung zwischen Bishop-Rand und Choquet-Rand ist das aber auch gleich dem Choquet-Rand, der in diesem Beispiel also echt im Schilow-Rand enthalten ist. Wie nach obigem Satz nicht anders zu erwarten, ist hier ${\displaystyle {\overline {\chi A}}=\partial A}$.

Der Choquet-Rand lässt sich durch sogenannte darstellende Maße charakterisieren, was die Verbindung zur Choquet-Theorie schlägt. Für einen kompakten Hausdorffraum ${\displaystyle X}$ sei ${\displaystyle M(X)}$ Banachraum der regulären komplexen Maße auf ${\displaystyle X}$ mit der totalen Variation als Norm. Ein Maß ${\displaystyle \mu \in M(X)}$ heißt ein darstellendes Maß für ein ${\displaystyle \varphi \in A^{*}}$, falls

${\displaystyle \|\varphi \|=\|\mu \|}$   und   ${\displaystyle \varphi (f)=\int _{X}f(x)\mathrm {d} \mu (x)}$   für alle   ${\displaystyle f\in A}$.

Ist zum Beispiel ${\displaystyle \varphi =\delta _{x}}$, so ist das Einpunktmaß ${\displaystyle \varepsilon _{x}}$ ein darstellendes Maß, denn

${\displaystyle \|\delta _{x}\|=1=\|\varepsilon _{x}\|}$   und   ${\displaystyle \delta _{x}(f)=f(x)=\int _{X}f(y)\mathrm {d} \varepsilon _{x}(y)}$.

Es könnte aber weitere darstellende Maße geben. Ist zum Beispiel ${\displaystyle A=A(\mathbb {D} )\subset C(\mathbb {D} )}$ die Diskalgebra, so gilt für alle ${\displaystyle f\in A(\mathbb {D} )}$ nach der cauchyschen Integralformel

${\displaystyle \delta _{0}(f)=f(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial \mathbb {D} }{\frac {f(z)}{z}}\mathrm {d} z=\int _{\mathbb {D} }f(z)\mathrm {d} \mu (z)}$

mit einem auf ${\displaystyle \partial \mathbb {D} }$ konzentrierten Maß ${\displaystyle \mu }$. In diesem Fall ist das darstellende Maß also nicht eindeutig. Ein ähnliches Argument zeigt, dass das darstellende Maß für kein ${\displaystyle \delta _{z},\,|z|<1}$ eindeutig ist. Eine Eindeutigkeit des darstellenden Maßes liegt nur für Funktionale ${\displaystyle \delta _{z}}$ mit ${\displaystyle |z|=1}$ vor. Diese Situation gilt auch im allgemeinen Fall, genauer gilt folgender Satz:^[7]

Ist ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorffraum und ${\displaystyle A\subset C(X)}$ eine Funktionenalgebra, so sind folgende Aussagen über ${\displaystyle x\in X}$ äquivalent:

• ${\displaystyle x\in \chi A}$
• Das darstellende Maß für ${\displaystyle \delta _{x}}$ ist eindeutig bestimmt.

Fordert man von der Funktionenalgebra ${\displaystyle A\subset C(X)}$ zusätzlich, dass diese bezüglich der Supremumsnorm abgeschlossen ist, so sind folgende Aussagen über ein ${\displaystyle x\in X}$ äquivalent:^[8]

• ${\displaystyle x\in \chi A}$
• Zu ${\displaystyle 0<\alpha <\beta <1}$ und jeder offenen Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ gibt es ein ${\displaystyle f\in A}$ mit ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=1}$, ${\displaystyle |f(x)|>\beta }$ und ${\displaystyle |f(y)|<\alpha }$ für alle ${\displaystyle y\in X\setminus U}$.
• Zu jeder offenen Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ gibt es ein ${\displaystyle f\in A}$ mit ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=1}$, ${\displaystyle \textstyle |f(x)|>{\frac {3}{4}}}$ und ${\displaystyle \textstyle |f(y)|<{\frac {1}{4}}}$ für alle ${\displaystyle y\in X\setminus U}$.
• Zu jeder offenen Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ gibt es ein ${\displaystyle f\in A}$ mit ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=1=|f(x)|}$ und ${\displaystyle \textstyle |f(y)|<1}$ für alle ${\displaystyle y\in X\setminus U}$.
• Es gibt eine Familie ${\displaystyle (f_{\alpha })_{\alpha \in I}}$ in ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle \textstyle \{x\}=\bigcap _{\alpha \in I}\{y\in X\mid |f_{\alpha }(y)|=\|f\|_{\infty }\}}$.

Mit Hilfe des Choquet-Randes kann man folgenden auf Robert Phelps zurückgehenden Satz beweisen:

Es seien ${\displaystyle X}$ ein kompakter Hausdorffraum und ${\displaystyle A\subset C(X)}$ eine Funktionenalgebra. Ist ${\displaystyle T\colon A\rightarrow A}$ eine lineare uns surjektive Isometrie mit ${\displaystyle T(1)=1}$, so ist ${\displaystyle T}$ multiplikativ, das heißt, es gilt ${\displaystyle T(fg)=T(f)T(g)}$ für alle ${\displaystyle f,g\in A}$.

Das zentrale Argument im Beweis besteht darin, die Multiplikativität von Punktauswertungen ${\displaystyle \delta _{x}}$ für Punkte ${\displaystyle x}$ aus dem Choquet-Rand zu verwenden. Damit zeigt man, dass ${\displaystyle T(fg)}$ und ${\displaystyle T(f)T(g)}$ auf allen Punkten des Choquet-Randes übereinstimmen und daher gleich sein müssen, denn der Choquet-Rand ist ein Rand. Das ist im unten genannten Lehrbuch von R. Larsen ausgeführt.^[9]

1. ↑ Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Definition 9.4.2
2. ↑ Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Korollar 9.4.1
3. ↑ E. Bishop: A minimal boundary for function algebras, Pacific Journal of Mathematics (1959), Band 9, Seiten 629–642
4. ↑ Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.7.2
5. ↑ R. R. Phelps: Lectures on Choquet's Theorem, van Nostrand (1966), Korollar 8.2
6. ↑ Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Beispiel 9.3.5
7. ↑ Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.6.7
8. ↑ Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.7.1
9. ↑ Ronald Larsen: Banach Algebras, Marcel Dekker (1973), ISBN 0-8247-6078-6, Theorem 9.5.1