Das Donaldson-Theorem ist ein wichtiges Theorem aus den mathematischen Teilgebieten der Differentialtopologie und der Mathematischen Eichtheorie nach der die Schnittform einer kompakten orientierten glatten 4-Mannigfaltigkeit diagonalisierbar sein muss, wenn sie definit ist. In der ursprünglichen Version des Theorems aus dem Jahr 1983 musste die Mannigfaltigkeit noch einfach zusammenhängend sein, bei einer späteren Verbesserung aus dem Jahr 1987 war diese Bedingung nicht mehr notwendig. Zentrale Folgen des Donaldson-Theorems sind die Existenz von exotischen glatten Strukturen auf dem sowie der Fehlschlag des h-Kobordismus-Satzes in vier Dimensionen. Das Donaldson-Theorem begründete die Donaldson-Theorie zum Studium von 4-Mannigfaltigkeiten durch die Modulräume der antiselbstdualen Yang–Mills-Gleichungen (ASDYM-Gleichungen) und wird als einer der Gründe für den Verleih der Fields-Medaille an Simon Donaldson im Jahr 1986 angeführt.
Inhaltsverzeichnis
1Beweisskizze
2Anwendung auf die 4-Sphäre
3Siehe auch
4Weblinks
5Literatur
6Einzelnachweise
Beweisskizze
Visualisierung des kompaktifizierten Modulraumes als Kobordismus zwischen der Basismannigfaltigkeit (durch dessen Struktur in der Unendlichkeit) sowie disjunkten Vereinigungen der komplexen projektiven Ebene (durch dessen Struktur um Singularitäten).
Es seien jeweils:
eine kompakte orientierbare glatte 4-Mannigfaltigkeit
ein -Hauptfaserbündel
ein Zusammenhang
dessen Krümmungsform
Mit dem Hodge-Stern-Operator die antiselbstdualen Yang–Mills-Gleichungen (ASDYM-Gleichungen) . (Das funktioniert nur, weil eine 4-Mannigfaltigkeit ist, da und andernfalls von verschiedenen Graden sind.) Ihre Lösungen werden antiselbstduale Yang-Mills-Zusammenhänge genannt und bilden gemeinsam den Raum . Gemäß der Definition eines Zusammenhangs wirkt die Eichgruppe auf diesen[1] und aufgrund der Kompatibilität mit der Definition der Krümmungsform ebenfalls wohldefiniert auf , wobei der Orbitraum als notiert wird. Ein wichtiger Unterraum ist der Modulraum, welcher als notiert wird.a Mithilfe des Atiyah–Singer-Indexsatzes ergibt sich dessen Dimension als:[2][3]
die Dimension des positiv definiten Untervektorraumes von bezüglich der Schnittform.
Ist einfach zusammenhängend wie in der ursprünglichen Version, dann folgt durch den Zusammenhang direkt , wodurch sich die Formel vereinfacht. Betrachtet wird ein Hauptfaserbündel mit , sodass . Sei das durch das balancierte Produkt zugeordnete komplexe Ebenenbündel. Reduzible Zusammenhänge bis auf Wirkung der Eichgruppe bilden zum einen die Singularitäten von und korrespondieren zum anderen eineindeutig mit Aufteilungen in eine Whitney-Summe mit einem komplexen Linienbündel .[4] In diesem Fall ist die zweite Chern-Klasse mit dem Cup-Produkt gegeben durch:
Durch die Kronecker-Paarung mit der Fundamentalklasse ergibt sich die Verbindung zur Schnittform durch:
Die Anzahl der Paare mit ist also ebenso die Anzahl der Singularitäten von .[5] Es gilt (da in letzteres noch positiv die Anzahl der Paare mit eingeht) und Gleichheit gilt genau dann, wenn diagonalisierbar ist.[6] Der nicht kompakte Modulraum gleicht in der Unendlichkeit der Basismannigfaltigkeit (in dem Sinne, dass es eine Untermannigfaltigkeit mit einem orientierungserhaltenden Diffeomorphismus gibt[7]) sowie in Umgebungen der Singularitäten der komplexen projektiven Ebene. Mithilfe von Chirurgietheorie und Einklebung dieser Räume ergibt sich also eine Kompaktifizierung, die einen Kobordismus zwischen und disjunkten enthält. Da die Signatur kobordismusinvariant ist und mit disjunkten Vereinigungen kommutiert folgt:[8]
Anwendung auf die 4-Sphäre
Die 4-Sphäre ist eine kompakte orientierbare glatte 4-Mannigfaltigkeit. Da ihre Schnittform wegen trivial ist, gibt dieses Beispiel zwar keine Einsicht in das Donaldson-Theorem selbst, wohl aber die im Beweis benutzten Konzepte und ihre Zusammenhänge. Das -Hauptfaserbündel über mit Chernklasse ist die quaternionische Hopf-Faserung. Diese lässt sich abstrakt definieren als die Hopf-Konstruktion der topologischen Gruppenstruktur auf oder direkt durch Wirkung der Einheitsquaternionen auf beiden Komponenten von sowie die Projektion auf den Orbitraum, nämlich den quaternionischen projektiven Raum. Das adjungierte Vektorbündel ist genau das quaternionische tautologische Linienbündel (aber augefasst als komplexes Ebenenbündel) ebenfalls definiert über die Identifikation , in welcher Punkte von jeweils eindimensionalen quaternionischen Untervektorräumen von entsprechen. Es gelten und , also und . Gemäß obiger Formel gilt ,[2] was bei den beschriebenen Instantonen genau den vier Freiheitsgraden für den Ort und dem einen Freiheitsgrad für die Größe entspricht.
Michael Freedman, Karen Uhlenbeck: Instantons and Four-Manifolds. Hrsg.: Princeton Mathematical Series. Band39. Princeton University Press, 1990, ISBN 0-691-08577-3 (englisch).
Die entsprechenden Räume für die selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen (SDYM-Gleichungen) werden als , und und die entsprechenden Räume für die Yang-Mills-Gleichungen (YM-Gleichungen) werden als , und notiert
Die Kronecker-Paarung mit der Fundamentalklasse der Basismannigfaltigkeit zur Auffassung der zweiten Chern-Klasse als ganze Zahl wird auch oft weggelassen.