Dornröschen-Problem

Das Dornröschen-Problem (englisch Sleeping Beauty Problem) ist ein Gedankenexperiment, das die Beziehung zwischen objektiven und subjektiven Wahrscheinlichkeiten veranschaulicht.

Das Problem wurde erstmals Mitte der 1980er Jahre von Arnold Zuboff (* 1946) formuliert^[1] und erlangte später durch eine Veröffentlichung von Adam Elga größere Bekanntheit.^[2]

Dornröschen nimmt an einem Experiment teil, bei dem sie am Sonntag mit einem Schlafmittel in Schlaf versetzt wird. Danach wirft der Versuchsleiter eine Münze. Vor dem Beginn des Experiments hat Dornröschen erfahren, dass die Münze fair ist, die Wahrscheinlichkeiten für Kopf oder Zahl also genau gleich groß sind. Fällt Kopf, weckt der Versuchsleiter Dornröschen am Montag auf, verabreicht ihr erneut ein Schlafmittel und lässt sie bis Mittwoch schlafen. Fällt Zahl, weckt er Dornröschen ebenfalls am Montag auf, verabreicht ihr wieder ein Schlafmittel, aber weckt sie dann am Dienstag erneut auf, um sie dann nochmals bis Mittwoch schlafen zu lassen. Der einzige Unterschied ist also, dass Dornröschen bei Kopf einmal und bei Zahl zweimal geweckt wird. Durch das Schlafmittel hat Dornröschen keine Erinnerung mehr daran, ob sie zuvor schon einmal geweckt wurde. Sie kann also nicht unterscheiden, ob Montag oder Dienstag ist. Und auch beim Aufwecken verrät der Versuchsleiter nichts: weder den Ausgang des Münzwurfs noch welcher Tag gerade ist. Nach jedem Aufwachen stellt er Dornröschen die Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze Kopf gezeigt hat?^[3]

Ist Dornröschen eine voll informierte und rationale Denkerin, lautet ihre Antwort 1/2, da der Münzwurf fair war. Und egal wann der Münzwurf erfolgte und wie oft sie aufgeweckt wurde: An der objektiven Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl ändert sich nichts.^[3]

Ist Dornröschen hingegen eine Nutzenmaximiererin, der beim Aufwachen angeboten wird, auf Kopf oder Zahl zu setzen, sollte sie folgende 3 Fälle in Betracht ziehen:

• Ich bin am Montag aufgewacht und es wurde Kopf geworfen.
• Ich bin am Montag aufgewacht und es wurde Zahl geworfen.
• Ich bin am Dienstag aufgewacht und es wurde Zahl geworfen.

Die Wahrscheinlichkeiten für alle drei Ereignisse sind gleich groß und betragen 1/3. Da Dornröschen bei Kopf im Mittel nur einmal, bei Zahl hingegen zweimal richtig liegt, sollte sie auf Zahl setzen. Die richtige Einschätzung ihrer subjektiven Wahrscheinlichkeiten ist diejenige, die ihre erwartete Auszahlung maximiert. Obwohl Dornröschen also weiß, dass der Münzwurf fair war, sollte sie insgeheim eine Wahrscheinlichkeitsannahme treffen (nur in 1/3 der Fälle wurde Kopf geworfen), die objektiv falsch ist.^[3]

Weitere Experimente, bei denen man aus einer Teilinformation die optimale Entscheidung unter Unsicherheit des Restproblems treffen kann, sind:

• das Gefangenenparadoxon,
• die Odds-Strategie,
• das Sekretärinnenproblem und
• das Ziegenproblem.

• Ulrike Grömping: The Sleeping Beauty Problem Demystified. In: Beuth Hochschule für Technik (Hrsg.): Reports in Mathematics, Physics and Chemistry. 23. März 2019, ISSN 2190-3913 (englisch, bht-berlin.de [PDF]). 

1. ↑ Arnold Zuboff: One Self: The Logic of Experience. In: Inquiry: An Interdisciplinary Journal of Philosophy. Band 33, Nr. 1 (1990), S. 39–68 (doi:10.1080/00201749008602210)
2. ↑ A. Elga: Self-locating Belief and the Sleeping Beauty Problem. In: Analysis. Band 60, Nr. 2, S. 143–147 (doi:10.1093/analys/60.2.143)
3. ↑ ^{a b c} Manon Bischoff: Das Dornröschen-Problem spaltet die Mathewelt, Spektrum der Wissenschaft, 7. April 2023, abgerufen am 12. September 2024