Fraktionaler Laplace-Operator

In der Mathematik ist der fraktionale Laplace-Operator ein Operator, der die Vorstellung der räumlichen Ableitungen des Laplace-Operators auf fraktionale Potenzen verallgemeinert. Dieser Operator wird oft verwendet, um bestimmte Arten von partiellen Differentialgleichungen zu verallgemeinern. Zwei Beispiele sind ^[1] und ^[2], bei denen bekannte partielle Differentialgleichungen, die den Laplace-Operator enthalten, durch die fraktionale Version ersetzt werden.

In der Literatur variiert die Definition des fraktionalen Laplace-Operators oft, aber meistens sind diese Definitionen äquivalent. Im Folgenden findet sich eine kurze Übersicht, die von M. Kwaśnicki bewiesen wurde.^[3]

Sei ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$,${\displaystyle {\mathcal {X}}:=L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ und ${\displaystyle s\in (0,1)}$.

Wenn wir uns weiter auf ${\displaystyle p\in [1,2]}$, beschränken, erhalten wir

${\displaystyle (-\Delta )^{s}f:={\mathcal {F}}_{\xi }^{-1}(|\xi |^{2s}{\mathcal {F}}(f))}$

Diese Definition verwendet die Fourier-Transformation für ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$. Diese Definition kann auch durch das Bessel-Potential auf alle ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ erweitert werden.

Der Laplace-Operator kann auch als ein singulärer Integraloperator betrachtet werden, der durch den folgenden Grenzwert in ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ definiert ist.

${\displaystyle (-\Delta )^{s}f(x)={\frac {4^{s}\Gamma (d/2+s)}{\pi ^{d/2}\Gamma (-s)}}\lim _{r\to 0^{+}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{d}\setminus B_{r}(x)}{{\frac {f(x)-f(y)}{|x-y|^{d+2s}}}\,dy}}$

Mithilfe der fraktionalen Wärme-halbgruppe, das die Familie der Operatoren ${\displaystyle \{P_{t}\}_{t\in [0,\infty )}}$ darstellt, können wir den fraktionalen Laplace-Operator durch dessen Generator definieren.

${\displaystyle -(-\Delta )^{s}f(x)=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {P_{t}f-f}{t}}}$

Es ist zu beachten, dass der Generator nicht der fraktionale Laplace-Operator ${\displaystyle (-\Delta )^{s}}$ ist, sondern dessen Negativ ${\displaystyle -(-\Delta )^{s}}$. Der Operator ${\displaystyle P_{t}:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}}$ ist definiert durch

${\displaystyle P_{t}f:=p_{t}*f}$,

wobei ${\displaystyle *}$ die Faltung zweier Funktionen ist und ${\displaystyle p_{t}:={\mathcal {F}}_{\xi }^{-1}(e^{-t|\xi |^{2s}})}$.

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta _{x}u(x,y)+{\frac {\alpha ^{2}c_{\alpha }}{\alpha }}y^{2-{\frac {2}{\alpha }}}\partial _{y}^{2}u(x,y)=0,&{\text{für }}y>0,\\u(x,0)=f(x),\\\partial _{y}u(x,0)=Lf(x),\end{cases}}}$

wobei ${\displaystyle c_{\alpha }={\frac {2^{-\alpha }\left|\Gamma \left(-{\frac {\alpha }{2}}\right)\right|}{\Gamma \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}}$

• Fraktionale Infinitesimalrechnung

• Fractional Laplacian. Nonlocal Equations Wiki, Department of Mathematics, The University of Texas at Austin.

1. ↑ Christof Melcher, Zisis N. Sakellaris: Global dissipative half-harmonic flows into spheres: small data in critical Sobolev spaces. In: Communications in Partial Differential Equations. 44. Jahrgang, Nr. 5, 4. Mai 2019, ISSN 0360-5302, S. 397–415, doi:10.1080/03605302.2018.1554675, arxiv:1806.06818 (englisch, tandfonline.com). 
2. ↑ Jerome D. Wettstein: Half-harmonic gradient flow: aspects of a non-local geometric PDE. In: Mathematics in Engineering. 5. Jahrgang, Nr. 3, 2023, ISSN 2640-3501, S. 1–38, doi:10.3934/mine.2023058, arxiv:2112.08846 (englisch, aimspress.com). 
3. ↑ Mateusz Kwaśnicki: Ten equivalent definitions of the fractional Laplace operator. In: Fractional Calculus and Applied Analysis. 20. Jahrgang, 2017, doi:10.1515/fca-2017-0002, arxiv:1507.07356 (englisch).