Gleichung xʸ = yˣ

Im Allgemeinen ist die Exponentiation zweier reeller Zahlen nicht kommutativ. Die Gleichung ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ hat trotzdem unendlich viele Lösungen.^[1][2] Eine Lösung ist ${\displaystyle x=2,\,y=4}$.^[3]

Die Gleichung ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$ wird in einem Brief von Daniel Bernoulli an Christian Goldbach vom 29. Juni 1728 erwähnt.^[4] Der Brief enthält die Aussage, dass die einzigen beiden Lösungen der obigen Gleichung, wobei ${\displaystyle x\neq y}$ natürliche Zahlen sein sollen, ${\displaystyle x=2,y=4}$ bzw. ${\displaystyle x=4,y=2}$ sind. Die Antwort von Goldbach vom 31. Januar 1729^[4] enthält allgemeine Lösungen der Gleichung, die durch die Substitution ${\displaystyle y=tx}$ erhalten wurden. Eine ähnliche Lösung wurde von Leonhard Euler gefunden.^[2]

J. van Hengel wies darauf hin, dass für natürliche Zahlen ${\displaystyle r\geq 3}$ und ${\displaystyle n}$ folgendes gilt: ${\displaystyle r^{r+n}>(r+n)^{r}}$.^[5] Es genügt also, ${\displaystyle x=1}$ und ${\displaystyle x=2}$ zu betrachten, um alle Lösungen für natürliche Zahlen zu bestimmen.

Das Problem wurde in mehreren Publikationen behandelt.^[2][4] Im Jahre 1960 kam die Gleichung in der William Lowell Putnam Competition vor,^[6] was Alvin Hausner dazu bewog, die Ergebnisse auf algebraische Zahlkörper auszudehnen.^[2][7]

Hauptquelle:^[3]

Eine unendliche Menge von „trivialen“ Lösungen ist durch die Bedingung ${\displaystyle x=y}$ gegeben.

Wir suchen also nach nicht-negativen Lösungspaaren (${\displaystyle x,y\geq 0}$), für die ${\displaystyle x\neq y}$ gilt. Es kann ${\displaystyle x,y>0}$ angenommen werden, da die einzige triviale Lösung, für die ${\displaystyle x=0}$ oder ${\displaystyle y=0}$ gilt, ${\displaystyle x=y=0}$ ist. Wir können also für genau ein ${\displaystyle t>0,t\neq 1}$ schreiben, dass ${\displaystyle y=tx}$. Die Gleichung lautet jetzt:

${\displaystyle (tx)^{x}=x^{tx}=(x^{t})^{x}}$.

Durch Anwendung der ${\displaystyle x}$-ten Wurzel und Dividieren durch ${\displaystyle x}$ auf beiden Seiten ergibt sich also:

${\displaystyle t=x^{t-1}}$.

Da per Definition ${\displaystyle y=tx}$ ist, lassen sich also alle nicht-negativen, nicht-trivialen Lösungspaare folgendermaßen schreiben (${\displaystyle t>0,t\neq 1}$):

${\displaystyle x=t^{1/(t-1)}}$,

${\displaystyle y=t^{t/(t-1)}}$.

Zudem sind für ${\displaystyle t>0}$ alle obigen Paare Lösungen der Gleichung. Setzt man beispielsweise ${\displaystyle t=2}$ beziehungsweise ${\displaystyle t={\tfrac {1}{2}}}$, so erhält man die oben genannte Lösung ${\displaystyle 4^{2}=2^{4}}$.

Andere Lösungspaare, die aus algebraischen Zahlen bestehen, sind beispielsweise ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ und ${\displaystyle 3{\sqrt {3}}}$, sowie ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4}}}$ und ${\displaystyle 4{\sqrt[{3}]{4}}}$.

Der Schnittpunkt der zu den obigen Lösungen gehörigen Kurve im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ und der Kurve ${\displaystyle x=y}$ liegt bei (mit stetiger Fortsetzung) ${\displaystyle t=1}$. In diesem Fall ist

${\displaystyle x=\lim _{t\to 1}t^{1/(t-1)}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e}$.

Der Schnittpunkt liegt also bei ${\displaystyle x=y=e}$.

• Rational Solutions to x^y = y^x. In: CTK Wiki Math. Abgerufen im 1. Januar 1 
• x^y = y^x - commuting powers. In: Arithmetical and Analytical Puzzles. Torsten Sillke, archiviert vom Original am 28. Dezember 2015; abgerufen im 1. Januar 1. 
• dborkovitz: Parametric Graph of x^y = y^x. GeoGebra, 29. Januar 2012; abgerufen im 1. Januar 1. 
• Folge A073084 in OEIS

1. ↑ Leonard E. Dickson: History of the Theory of Numbers. Band II. Washington 1920, S. 687 (google.com). 
2. ↑ ^{a b c d} Marta Sved: On the Rational Solutions of x^y = y^x. In: Mathematics Magazine. 1990 (maa.org (Memento des Originals vom 4. März 2016 im Internet Archive)). 
3. ↑ ^{a b} Lajos Lóczi: On commutative and associative powers. In: KöMaL. (komal.hu (Memento des Originals vom 15. Oktober 2002 im Internet Archive)).  Translation of: Mikor kommutatív, illetve asszociatív a hatványozás? Archiviert vom Original am 6. Mai 2016; abgerufen im 1. Januar 1 (ungarisch). 
4. ↑ ^{a b c} David Singmaster: Sources in recreational mathematics: an annotated bibliography. 8th preliminary edition. Archiviert vom Original am 16. April 2004; abgerufen im 1. Januar 1. 
5. ↑ Johann van Hengel: Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung a^b = b^a genügt. In: Bericht über das Königliche Gymnasium zu Emmerich. 1888 (uni-duesseldorf.de). 
6. ↑ Andrew Gleason, R. E. Greenwood, Leroy Milton Kelly: The William Lowell Putnam mathematical competition problems and solutions: 1938-1964. Hrsg.: MAA. 1980, ISBN 0-88385-428-7, S. 59 (google.com). 
7. ↑ Algebraic Number Fields and the Diophantine Equation mⁿ = n^m. In: The American Mathematical Monthly. November 1961.