Kompakt-Offen-Topologie

Die Kompakt-Offene-Topologie, kurz KO-Topologie,^[1] ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur auf Funktionenräumen stetiger Funktionen. Sind nämlich ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ topologische Räume, so sind die stetigen Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen. Daher liegt es nahe, die Menge ${\displaystyle C(X,Y)}$ aller stetigen Funktionen ${\displaystyle X\to Y}$ wieder mit einer Topologie auszustatten. Unter den vielen Möglichkeiten, das zu tun, hat sich die Kompakt-Offen-Topologie als besonders geeignet herausgestellt.

Die Mathematiker R. H. Fox (1945) und Richard Friederich Arens (1946) definierten als erste diese Topologie und untersuchten sie systematisch.^[2]

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ topologische Räume. Ist ${\displaystyle K\subset X}$ kompakt und ${\displaystyle U\subset Y}$ offen, so sei ${\displaystyle \Omega (K,U):=\{f\in C(X,Y):\,f(K)\subset U\}}$.

Die Kompakt-Offen-Topologie auf ${\displaystyle C(X,Y)}$ ist die von allen Mengen der Form ${\displaystyle \Omega (K,U)}$, ${\displaystyle K\subset X}$ kompakt, ${\displaystyle U\subset Y}$ offen, erzeugte Topologie, d. h., die offenen Mengen dieser Topologie sind beliebige Vereinigungen endlicher Durchschnitte solcher Mengen ${\displaystyle \Omega (K,U)}$.

Die Mengen ${\displaystyle \Omega (K,U)}$, ${\displaystyle K\subset X}$ kompakt, ${\displaystyle U\subset Y}$ offen, bilden damit eine Subbasis der Kompakt-Offen-Topologie. Diese Topologie wird oft mit ${\displaystyle co}$ abgekürzt (engl. compact-open), ${\displaystyle C_{co}(X,Y)}$ bezeichnet dann den Raum ${\displaystyle C(X,Y)}$, der mit der Kompakt-Offen-Topologie versehen ist.

Im Folgenden seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ topologische Räume.

Ist Y T₀-Raum, T₁-Raum, Hausdorffraum, regulärer Raum oder ein vollständig regulärer Raum, so genügt ${\displaystyle C_{co}(X,Y)}$ demselben Trennungsaxiom.

Für jede Teilmenge ${\displaystyle H\subset C(X,Y)}$ hat man die Auswertungsabbildung ${\displaystyle j_{H}:H\times X\to Y,(f,x)\mapsto f(x)}$. Ist ${\displaystyle \tau }$ irgendeine Topologie auf ${\displaystyle H}$, so dass ${\displaystyle j_{H}}$ stetig ist (${\displaystyle H\times X}$ trägt dabei die Produkttopologie aus ${\displaystyle \tau }$ und der auf ${\displaystyle X}$ gegebenen Topologie), so ist ${\displaystyle co|_{H}\subset \tau }$, d. h., die relative Kompakt-Offen-Topologie auf ${\displaystyle H}$ ist gröber als ${\displaystyle \tau }$. In einem wichtigen Spezialfall ist die Auswertungsabbildung ${\displaystyle j_{H}}$ stetig, wenn man ${\displaystyle H}$ mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie versieht; es gilt:

Ist ${\displaystyle X}$ lokalkompakt und ${\displaystyle Y}$ ein beliebiger topologischer Raum, so ist die Kompakt-Offen-Topologie auf jeder Teilmenge ${\displaystyle H\subset C(X,Y)}$ die gröbste Topologie, die die Auswertungsabbildung ${\displaystyle j_{H}:H\times X\to Y,(f,x)\mapsto f(x)}$ stetig macht.

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ lokalkompakt, ${\displaystyle Z}$ sei ein dritter topologischer Raum. Dann ist die Kompositionsabbildung

${\displaystyle C_{co}(X,Y)\times C_{co}(Y,Z)\rightarrow C_{co}(X,Z),\,\,(f,g)\mapsto g\circ f}$

stetig.

Sei ${\displaystyle X}$ lokalkompakt, ${\displaystyle Y}$ uniformer Raum. Dann stimmt die Kompakt-Offen-Topologie auf ${\displaystyle C(X,Y)}$ mit der Topologie der kompakten Konvergenz überein.

Als typische Anwendung in der algebraischen Topologie wird hier die rekursive Definition der höheren Homotopiegruppen vorgestellt. Es sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt ${\displaystyle p\in X}$. Mit ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$ werde die Fundamentalgruppe zum Basispunkt ${\displaystyle p}$ bezeichnet. Zur Definition der höheren Homotopiegruppen ${\displaystyle \pi _{n}(X,p)}$ betrachte man den Raum ${\displaystyle \Omega _{X,p}}$ aller stetigen Abbildungen ${\displaystyle g:([0,1],\partial [0,1])\to (X,p)}$ des Einheitsintervalls ${\displaystyle [0,1]}$ nach ${\displaystyle X}$, die den Rand ${\displaystyle \partial [0,1]}$ des Einheitsintervalls auf den Basispunkt ${\displaystyle p}$ abbilden. Bezeichnet man die konstante Funktion aus ${\displaystyle \Omega _{X,p}}$, die das Einheitsintervall auf den Punkt ${\displaystyle p}$ abbildet, mit ${\displaystyle {\tilde {p}}}$ und versieht man ${\displaystyle \Omega _{X,p}}$ mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie von ${\displaystyle C([0,1],X)}$, so ist das Paar ${\displaystyle (\Omega _{X,p},{\tilde {p}})}$ ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt.

Man definiert nun ${\displaystyle \pi _{2}(X,p):=\pi _{1}(\Omega _{X,p},{\tilde {p}})}$ und allgemeiner rekursiv ${\displaystyle \pi _{n}(X,p):=\pi _{n-1}(\Omega _{X,p},{\tilde {p}})}$ für ${\displaystyle n>1}$.

• Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6. 
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Teubners mathematische Leitfäden. ZDB-ID 259127-3). Teubner, Stuttgart 1964, (4. Auflage. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6).

1. ↑ Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4, S. 72. 
2. ↑ Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, S. 333.