Eine komplexe Differentialform ist ein mathematisches Objekt aus der komplexen Geometrie. Eine komplexe Differentialform ist eine Entsprechung der (reellen) Differentialformen auf komplexen Mannigfaltigkeiten. Genauso wie im reellen Fall bilden auch die komplexen Differentialform eine graduierte Algebra. Eine komplexe Differentialform vom Grad
(oder kurz k-Form) kann auf eindeutige Art und Weise in zwei Differentialformen zerlegt werden, die dann den Grad
beziehungsweise
mit
haben. Um diese Zerlegung zu betonen, spricht man auch von (p,q)-Formen. Bei dieser kurzen Sprechweise wird auch klar, dass es sich um komplexe Differentialformen handelt, denn reelle Formen besitzen keine solche Zerlegung. Eine wichtige Rolle spielt der Kalkül der komplexen Differentialformen in der Hodge-Theorie.
Sei
eine komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension
. Wähle
![{\displaystyle \{\mathrm {d} z^{j}=dx^{j}+idy^{j},\ \mathrm {d} {\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j};\ 1\leq j\leq n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fff0effaf9cdf0765f376d91cf441d519f8e428)
als eine lokale Basis des komplexifizierten Kotangentialraums. Die Kovektoren haben die lokale Darstellung
![{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}f_{j}\mathrm {d} z^{j}+g_{j}\mathrm {d} {\overline {z}}^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca7140b8058bb29b485fff9a4727f89d3f395ee)
Die Räume, in denen nur Basisvektoren der Form
vorkommen, werden verbal als (1,0)-Formen und formelmäßig mit
bezeichnet. Analog dazu ist
der Raum der (0,1)-Formen, also der Kovektoren, welche nur Basisvektoren der Form
haben. Diese beiden Räume sind stabil, das heißt unter holomorphen Koordinatenwechseln werden diese Räume in sich selbst abgebildet. Aus diesem Grund sind die Räume
und
komplexe Vektorbündel über
.
Mit Hilfe des äußeren Produktes von komplexen Differentialformen, welches genauso wie für reelle Differentialformen definiert ist, kann man nun die Räume der
-Formen durch
![{\displaystyle {\mathcal {A}}^{p,q}(M):=\bigwedge _{j=1}^{p}{\mathcal {A}}^{1,0}(M)\wedge \bigwedge _{j=1}^{q}{\mathcal {A}}^{0,1}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c51b57b93682e061231fc948e451d42252eb24bc)
definieren. Weiter definiert man noch den Raum
als die direkte Summe
![{\displaystyle {\mathcal {E}}^{r}(M):=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {A}}^{p,q}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52f96ef4292d98ace1301b25e1d259d8ee6c52b)
der
-Formen mit
. Dies ist isomorph zur direkten Summe
der Räume der reellen Differentialformen. Außerdem ist für
eine Projektion
![{\displaystyle \pi _{p,q}\colon {\mathcal {E}}^{r}(M)\to {\mathcal {A}}^{p,q}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0396600477b7c1067d11c94b267e371073cdaada)
definiert, welche jeder komplexen Differentialform vom Grad
ihre
-Zerlegung zuordnet.
Eine
-Form hat also in lokalen Koordinaten
die eindeutige Darstellung
![{\displaystyle \omega =\sum _{\stackrel {1\leq i_{1}<\ldots <i_{p}\leq p}{1\leq j_{1}<\ldots <j_{q}\leq q}}f_{i_{1},\ldots i_{p},j_{1},\ldots j_{q}}\mathrm {d} z_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} z_{i_{p}}\wedge \mathrm {d} {\overline {z}}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} {\overline {z}}_{j_{q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ea265bab154e0cc459003f65e6f3f7d27f7d47)
Da diese Darstellung doch sehr lang ist, ist es üblich die Kurzschreibweise
![{\displaystyle \sum _{I,J}f_{I,J}\mathrm {d} z_{I}\wedge \mathrm {d} {\overline {z}}_{J}:=\sum _{\stackrel {1\leq i_{1}<\ldots <i_{p}\leq p}{1\leq j_{1}<\ldots <j_{q}\leq q}}^{}f_{i_{1},\ldots i_{p},j_{1},\ldots j_{q}}\mathrm {d} z_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} z_{i_{p}}\wedge \mathrm {d} {\overline {z}}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} {\overline {z}}_{j_{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd612fc5e1b58eeadfdf64fadc9654aa39f9dbe7)
zu vereinbaren.
Dolbeault-Operatoren
Definition
Die äußere Ableitung
![{\displaystyle \mathrm {d} :{\mathcal {E}}^{r}(M)\to {\mathcal {E}}^{r+1}(M),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03c08266d1cecbeacddc7fb4e08842875ed300e)
was gleichbedeutend ist mit
![{\displaystyle \mathrm {d} :\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {A}}^{p,q}(M)\to \bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {A}}^{p+1,q}(M)\oplus \bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {A}}^{p,q+1}(M),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b98a447b68523463f433169d2b3468970586120)
kann in
aufgespalten werden. Die Dolbeault-Operatoren
![{\displaystyle \partial :{\mathcal {A}}^{p,q}(M)\to {\mathcal {A}}^{p+1,q}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87c160f498ba540abbb84f0b96bd074f3dc072a5)
und
![{\displaystyle {\overline {\partial }}:{\mathcal {A}}^{p,q}(M)\to {\mathcal {A}}^{p,q+1}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e832de2700b8d3be3d38001389696541b97ed30b)
sind definiert durch
![{\displaystyle {\begin{aligned}\partial &:=\pi _{p+1,q}\circ \mathrm {d} \\{\overline {\partial }}&:=\pi _{p,q+1}\circ \mathrm {d} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b80e0f04f1c461c6efa5a2630a79d272a1c13a7)
In lokalen Koordinaten bedeutet dies
![{\displaystyle \partial \left(\sum _{I,J}f_{I,J}\mathrm {d} z^{I}\wedge \mathrm {d} {\overline {z}}^{J}\right)=\sum _{I,J}\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial f_{I,J}}{\partial z^{l}}}\mathrm {d} z^{l}\wedge \mathrm {d} z^{I}\wedge \mathrm {d} {\overline {z}}^{J}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1901fe8ae950df0f421c2b9201762e87890635)
und
![{\displaystyle {\overline {\partial }}\left(\sum _{I,J}f_{I,J}\mathrm {d} z^{I}\wedge \mathrm {d} {\overline {z}}^{J}\right)=\sum _{I,J}\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial f_{I,J}}{\partial {\overline {z}}^{l}}}\mathrm {d} {\overline {z}}^{l}\wedge \mathrm {d} z^{I}\wedge \mathrm {d} {\overline {z}}^{J}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/634c6c37268526bd005a27577bdaa2a372b85ef9)
Dabei sind
und
auf den rechten Seiten der Gleichung die normalen Dolbeault-Operatoren.
Erfüllt eine Differentialform
die Gleichung
, so spricht man von einer holomorphen Differentialform. In lokalen Koordinaten kann man diese Formen durch
![{\displaystyle \sum _{I}f_{I}\mathrm {d} z^{I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f421de848181d6b270237b783b02aee4480e81)
darstellen, wobei
holomorphe Funktionen sind. Der Vektorraum der holomorphen
-Formen auf
wird mit
notiert.
Eigenschaften
- Für diese Operatoren gilt eine Leibniz-Regel. Seien
und
, dann gilt
![{\displaystyle \partial (\omega \wedge \nu )=\partial \omega \wedge \nu +(-1)^{p+q}\,\omega \wedge \partial \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f823ef7aca63f6de4c030ef48e06daa862250642)
- und
![{\displaystyle {\overline {\partial }}(\omega \wedge \nu )={\overline {\partial }}\omega \wedge \nu +(-1)^{p+q}\,\omega \wedge {\overline {\partial }}\nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e561bcca32077b8ae0be705b9bc24d63955690c)
![{\displaystyle 0=\mathrm {d} ^{2}=(\partial +{\overline {\partial }})^{2}=\partial ^{2}+({\overline {\partial }}\partial +\partial {\overline {\partial }})+{\overline {\partial }}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a99cbd2758e42dfc3c2f5944f8d6e71f7a2e442)
- folgt
,
und
, denn alle drei Terme sind von unterschiedlichem Grad. Die Operatoren
und
eignen sich also für eine Kohomologietheorie. Diese trägt den Namen Dolbeault-Kohomologie.
- Sei
eine Kählermannigfaltigkeit, also eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer verträglichen Riemann’schen Metrik
, so kann man den adjungierten Dolbeault-Quer-Operator
bezüglich dieser Metrik bilden. Der Operator
ist dann ein verallgemeinerter Laplace-Operator. Anwendung findet dieser Operator in der (komplexen) Hodge-Theorie.
Literatur
- Eric W. Weisstein: Complex Form. In: MathWorld (englisch).
- Raymond O. Wells: Differential analysis on complex manifolds. Prentice-Hall, Englewood Cliffs NJ 1973, ISBN 0-13-211508-5.
- Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables (= North-Holland Mathematical Library 7). 2. revised edition. North-Holland u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-7204-2450-X.