Konstante von Glaisher-Kinkelin

Die Konstante von Glaisher-Kinkelin, oft auch nur glaishersche Konstante, ist eine mathematische Konstante, die in einigen Summen und Integralen auftritt, vor allem im Zusammenhang mit der Gammafunktion und der riemannschen Zetafunktion. Sie ist nach J. W. L. Glaisher und Hermann Kinkelin benannt.

Die Konstante von Glaisher-Kinkelin wird üblicherweise mit ${\displaystyle A}$ bezeichnet. Ein Näherungswert ist

${\displaystyle A=1,28242{\text{ }}71291{\text{ }}00622{\text{ }}63687{\text{ }}53425{\text{ }}68869{\text{ }}79172{\text{ }}77676{\text{ }}88927{\text{ }}32500{\text{ }}11920{\text{ }}63740{\text{ }}02174{\text{ }}04063{\text{ }}08858{\text{ }}82646{\text{ }}11297{\text{ }}36491{\text{ }}95820{\text{ }}23743{\text{ }}...}$^[1]

Die einzelnen Nachkommastellen bilden die Folge A074962 in OEIS.

Eine mögliche Definition^[2] von ${\displaystyle A}$ lautet wie folgt:

${\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n+{\frac {1}{12}}}\,e^{-{\frac {1}{4}}n^{2}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\operatorname {hf} (n)}{\exp {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{12}}{\bigr )}\ln(n)-{\tfrac {1}{4}}n^{2}{\bigr ]}}}}$

Dabei ist die Hyperfakultät so definiert:

${\displaystyle \operatorname {hf} (x)=\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}x+1-\ln(2\,\pi )-\gamma \,x{\bigr ]}{\biggr \}}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{-n-x}\exp {\bigl (}{\frac {x^{2}}{2n}}+x{\bigr )}{\biggr ]}}$ ${\displaystyle \operatorname {hf} (x)=\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}x+1-\ln(2\,\pi ){\bigr ]}+\int \limits _{0}^{1}x\ln {\bigl [}\Pi (xy){\bigr ]}\,\mathrm {d} y{\biggr \}}}$ ${\displaystyle \operatorname {hf} (x)=\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}x+1-\ln(2\,\pi ){\bigr ]}+\int \limits _{0}^{1}x\ln {\bigl [}\Gamma (xy+1){\bigr ]}\,\mathrm {d} y{\biggr \}}}$ ${\displaystyle \operatorname {hf} (x)=\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}-\gamma \,x+x+1-\ln(2\,\pi ){\bigr ]}+\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}y^{2}-2\,xy+2-2\exp(-xy)}{2\,y^{2}{\bigl [}\exp(y)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y{\biggr \}}}$

Alle vier soeben gezeigten Definitionsformeln für die Hyperfakultät sind zueinander identisch.

Für die Fakultätsfunktion beziehungsweise die Gaußsche Pifunktion gilt mit dem Weierstraß-Produkt^[3] diese Definition:

${\displaystyle x!=\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{-1}\exp {\bigl (}{\frac {x}{n}}{\bigr )}{\bigr ]}}$

Diese Induktionsgleichungen sind für die Hyperfakultät gültig:

${\displaystyle \operatorname {hf} (n)=n\,K(n)=K(n+1)=\prod _{m=1}^{n}m^{m}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {hf} (n)=K(n+1)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}}$

Die Hyperfakultät ist mit der K-Funktion des Nachfolgers identisch.

Mit dieser Definition eng verwandt ist diese über die Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma }$ erfolgende Definition:

${\displaystyle A={\frac {2^{7/36}}{\pi ^{1/6}}}\exp {\biggl \{}{\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3}}\int _{0}^{1/2}\!\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}\,\mathrm {d} x{\biggr \}}={\frac {2^{7/36}}{\pi ^{1/6}}}\exp {\biggl \{}{\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3}}\int _{0}^{1/2}\!\ln {\bigl [}\Gamma (x+1){\bigr ]}\,\mathrm {d} x{\biggr \}}}$

Eine weitere Definition unter Verwendung der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ lautet wie folgt:

${\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{{\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {1}{12}}}\,(2\pi )^{{\frac {1}{2}}n}\,e^{-{\frac {3}{4}}n^{2}+{\frac {1}{12}}}}{G(n+1)}}}$

Dabei steht der Buchstabe G für die Barnessche G-Funktion ${\displaystyle G(n+1)=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdots (n-1)!}$

Deswegen kann alternativ zu diesem Ausdruck auch eine Grenzwertdefinition mit der Superfakultät aufgestellt werden:

${\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\operatorname {sf} (n)}}\exp {\bigl [}{\bigl (}{\frac {1}{2}}n^{2}+n+{\frac {5}{12}}{\bigr )}\ln(n+1)+{\frac {1}{2}}(n+1)\ln(2\,\pi )-{\frac {3}{4}}n^{2}-{\frac {3}{2}}n-{\frac {2}{3}}{\bigr ]}}$

Dabei ist die Superfakultät mit diesen zueinander identischen Formeln definiert:

${\displaystyle \operatorname {sf} (x)=\Pi (x)\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}\ln(2\,\pi )-\gamma \,x-x-1{\bigr ]}{\biggr \}}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{n}\exp {\bigl (}{\frac {x^{2}}{2n}}-x{\bigr )}{\biggr ]}}$ ${\displaystyle \operatorname {sf} (x)=\Gamma (x+1)\exp {\biggl \{}{\frac {x}{2}}{\bigl [}\ln(2\,\pi )-\gamma \,x-x-1{\bigr ]}{\biggr \}}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\bigl (}1+{\frac {x}{n}}{\bigr )}^{n}\exp {\bigl (}{\frac {x^{2}}{2n}}-x{\bigr )}{\biggr ]}}$

${\displaystyle \operatorname {sf} (x)=\operatorname {hf} (x)^{-1}\,\Pi (x)^{x+1}=\operatorname {hf} (x)^{-1}\,\Gamma (x+1)^{x+1}}$

Eine andere Definition lautet so:

${\displaystyle A=\exp {\bigl [}{\tfrac {1}{12}}-\zeta ^{\prime }(-1){\bigr ]}}$

die einen Zusammenhang zur Ableitung der Riemannschen Zetafunktion ${\displaystyle \zeta }$ darstellt.

Hurch Hinzufügung der Abel-Plana-Definition von der Riemannschen Zeta-Ableitung erhält man diese Formel:

${\displaystyle A=\exp {\biggl [}{\frac {1}{3}}-\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)+x\ln(x^{2}+1)}{2\exp(\pi \,x)\sinh(\pi \,x)}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}}$

Durch Einsetzen der Abel-Plana-Definitionen von Dirichletscher Lambdafunktion und Etafunktion können auch diese Definitionen aufgestellt werden:

${\displaystyle A=\exp {\biggl [}-{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{6}}\ln(2)+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)+x\ln(x^{2}+1)}{4\exp(\pi \,x/2)\sinh(\pi \,x/2)}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}}$

${\displaystyle A=\exp {\biggl [}{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{9}}\ln(2)+{\frac {1}{3}}\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)+x\ln(x^{2}+1)}{2\sinh(\pi \,x)}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}}$

Eine Reihendarstellung lautet (Guillera, Sondow 2008)^[4]

${\displaystyle \ln A={\frac {1}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k+1}{\binom {n}{k}}(k+1)^{2}\ln(k+1)}$

Sie basiert auf der Riemannschen Zetafunktion.

Der Mathematiker Helmut Hasse hat sie auf Basis des genannten Werkes von Sondow und Guillera weitererforscht.

Folgende^[5] Produktreihen ergeben folgenden Wert:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }n^{1/n^{2}}=\exp {\bigl \{}2\,\pi ^{2}\ln(A)-{\frac {\pi ^{2}}{6}}{\bigl [}\ln(2\,\pi )+\gamma {\bigr ]}{\bigr \}}}$

${\displaystyle \prod _{p\,\in \,{\text{prim}}}^{\infty }p^{1/(p^{2}-1)}=\exp {\bigl [}12\ln(A)-\ln(2\,\pi )-\gamma {\bigr ]}}$

Das obere von diesen beiden Produkten weist eine enge Verwandtschaft zu den Kummerschen Reihen auf.

Im Folgenden werden die Abel-Plana-Definitionen für die Riemannsche Zetafunktion, die Dirichletsche Lambdafunktion und die Dirichletsche Etafunktion aufgestellt:

Name der Funktion	Abel-Plana-Integralausdruck
Riemannsche Zetafunktion	${\displaystyle \zeta (x)={\frac {x+1}{2x-2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{(y^{2}+1)^{x/2}\exp(\pi \,y)\sinh(\pi \,y)}}\,\mathrm {d} y}$
Dirichletsche Lambdafunktion	${\displaystyle \lambda (x)={\frac {x}{2x-2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{2(y^{2}+1)^{x/2}\exp(\pi \,y/2)\sinh(\pi \,y/2)}}\,\mathrm {d} y}$
Dirichletsche Etafunktion	${\displaystyle \eta (x)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{(y^{2}+1)^{x/2}\sinh(\pi \,y)}}\,\mathrm {d} y}$

Durch Bildung des Differentialquotienten bezüglich x entstehen folgende Definitionen für die Ableitungen der Riemannschen und Dirichletschen Funktionen:

Name der Funktion	Abel-Plana-Integralausdruck
Riemannsche Zetaableitung	${\displaystyle \zeta '(x)=-{\frac {1}{(x-1)^{2}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(y)\cos[x\arctan(y)]-\ln(y^{2}+1)\sin[x\arctan(y)]}{2(y^{2}+1)^{x/2}\exp(\pi \,y)\sinh(\pi \,y)}}\,\mathrm {d} y}$
Dirichletsche Lambdaableitung	${\displaystyle \lambda '(x)=-\,{\frac {1}{2(x-1)^{2}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(y)\cos[x\arctan(y)]-\ln(y^{2}+1)\sin[x\arctan(y)]}{4(y^{2}+1)^{x/2}\exp(\pi \,y/2)\sinh(\pi \,y/2)}}\,\mathrm {d} y}$
Dirichletsche Etaableitung	${\displaystyle \eta '(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(y)\cos[x\arctan(y)]-\ln(y^{2}+1)\sin[x\arctan(y)]}{2(y^{2}+1)^{x/2}\sinh(\pi \,y)}}\,\mathrm {d} y}$

Als Nächstes werden die Ableitungswerte der Riemannschen und Dirichletschen Funktionen ausgedrückt über die Glaisher-Kinkelin-Konstante tabellarisch gegenübergestellt:

Abszissenwerte x	Riemannsche Zetaableitung	Dirichletsche Lambdaableitung	Dirichletsche Etaableitung
${\displaystyle +2}$	${\displaystyle \zeta '(2)=-{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}{\bigl [}12\ln(A)-\ln(2\pi )-\gamma {\bigr ]}}$	${\displaystyle \lambda '(2)=-{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}{\bigl [}36\ln(A)-\ln(16\pi ^{3})-3\,\gamma {\bigr ]}}$	${\displaystyle \eta '(2)={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}{\bigl [}\ln(4\pi )-12\ln(A)+\gamma {\bigr ]}}$
${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \zeta '(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln(A)}$	${\displaystyle \lambda '(-1)=\ln(A)-{\tfrac {1}{6}}\ln(2)-{\tfrac {1}{12}}}$	${\displaystyle \eta '(-1)=3\ln(A)-{\tfrac {1}{3}}\ln(2)-{\tfrac {1}{4}}}$

Denn es gelten folgende Umwandlungsformeln:

${\displaystyle \lambda '(x)=2^{-x}\ln(2)\,\zeta (x)+(1-2^{-x})\,\zeta '(x)}$

${\displaystyle \eta '(x)=2^{1-x}\ln(2)\,\zeta (x)+(1-2^{1-x})\,\zeta '(x)}$

• Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung. (Juli 1856) In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 57, 1860, S. 122–138 (beim GDZ: digizeitschriften.de)
• J. W. L. Glaisher: On the Product 1¹.2².3³...nⁿ. In: The Messenger of Mathematics, 7, 1878, S. 43–47 (englisch; „A=1·28242 7130“ auf S. 43); Textarchiv – Internet Archive

• Eric W. Weisstein: Glaisher-Kinkelin Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A087501 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von A)

1. ↑ 20,000 digits of the Glaisher-Kinkelin constant (Memento vom 13. März 2011 im Internet Archive) – die ersten 20.000 Nachkommastellen beim Projekt mpmath (englisch)
2. ↑ Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0, S. 103
3. ↑ Archiv der Mathematik und Physik. B. G. Teubner., 1844 (google.de [abgerufen am 30. Januar 2023]). 
4. ↑ Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch’s transcendent. In: The Ramanujan Journal, 16, 2008, S. 247–270 (arxiv:math.NT/0506319)
5. ↑ Robert A. Van Gorder: Glaisher-type products over the primes. In: International Journal of Number Theory. Band 08, Nr. 02, 1. März 2012, ISSN 1793-0421, S. 543–550, doi:10.1142/S1793042112500297 (worldscientific.com [abgerufen am 8. Januar 2023]).