Lévy-Konstante

Die nach Paul Lévy benannte Lévy-Konstante oder Lévysche Zahl ist eine mathematische Konstante, die bei der Grenzwertbildung von Kettenbrüchen eine Rolle spielt: Zieht man die ${\displaystyle n}$-te Wurzel des ${\displaystyle n}$-ten Nenners ${\displaystyle q_{n}}$ der Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl ${\displaystyle x}$, so gibt es bei fast allen ${\displaystyle x}$ einen Grenzwert, wenn ${\displaystyle n}$ gegen Unendlich geht:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{q_{n}}^{1/n}=\gamma }$

Dies zeigte 1935 der sowjetische Mathematiker Aleksandr Khinchin.^[1] Im folgenden Jahr fand der französische Mathematiker Paul Lévy eine explizite Darstellung für die Lévysche Konstante, nämlich:^[2]

${\displaystyle \gamma =e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3{,}275822918721811159787681882\ldots }$

Der darin vorkommende Ausdruck

${\displaystyle \beta ={\frac {\pi ^{2}}{12\ln 2}}=1{,}1865691104\ldots }$

wurde als Khinchin-Lévy-Konstante bezeichnet, wobei die Benennungen nicht einheitlich verwendet werden.

Der doppelte Zehnerlogarithmus der Lévy-Konstante ist gleich dem Grenzwert, der im Satz von Lochs für das Dezimalsystem auftritt.

R. M. Corless zeigte^[3]

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}{\frac {\ln x^{-1}}{(x+1)\ln 2}}\mathrm {d} x}$

und setzte die Lévy-Konstante in Verbindung mit der Khinchin-Konstante.

• Eric W. Weisstein: Khinchin–Lévy Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A086702 in OEIS

1. ↑ Aleksandr Khinchin: Zur metrischen Kettenbruchtheorie. In: Compositio Mathematica, 3, 1936, Nr. 2, S. 275–285 (PDF 0,5 MB).
2. ↑ P. Lévy: Sur le développement en fraction continue d’un nombre choisi au hasard. In: Compositio Mathematica, 1936, S. 286–303. Reprinted in Œuvres de Paul Lévy, Vol. 6. Gauthier-Villars, Paris 1980, S. 285–302.
3. ↑ R. M. Corless: Continued Fractions and Chaos. In: American Mathematical Monthly, Nummer 99, 1992, S. 203–215.