Ein Multipendel ist ein Pendel, an dessen Arm weitere Pendel gehängt sind. Es entsteht ein unvorhersehbares Bewegungsmuster, welches bereits bei geringfügigen Störungen stark variiert. Es lassen sich chaotische Prozesse leicht simulieren, weshalb es sich zu einem beliebten Modell in der Chaostheorie entwickelt hat.
Modellvorstellung Das Modell des Multipendels n {\displaystyle n} -ter Stufe ist ein idealisiertes System eines Fadenpendels, an dessen schwingendem Massenpunkt n − 1 {\displaystyle n-1} weitere baugleiche Fadenpendel gekoppelt sind. Die verbindenden Fäden zwischen Aufhängepunkt und den Massenpunkten werden als vollkommen unelastische, massenlose Stäbe betrachtet. Das gesamte System wird als reibungsfrei aufgefasst.
Bewegungsgleichungen des Multipendels n -ter Stufe Aufbau: Multipendel Die Bewegungsgleichungen für ein Multipendel n {\displaystyle n} -ter Stufe lassen sich mit dem Lagrange-Formalismus zweiter Art herleiten.
Generalisierte Koordinaten Mittels Trigonometrie erhält man:
x 1 = l 1 sin φ 1 {\displaystyle x_{1}=l_{1}\sin \varphi _{1}}
y 1 = − l 1 cos φ 1 {\displaystyle y_{1}=-l_{1}\cos \varphi _{1}}
x 2 = l 1 sin φ 1 + l 2 sin φ 2 {\displaystyle x_{2}=l_{1}\sin \varphi _{1}+l_{2}\sin \varphi _{2}}
y 2 = − l 1 cos φ 1 − l 2 cos φ 2 {\displaystyle y_{2}=-l_{1}\cos \varphi _{1}-l_{2}\cos \varphi _{2}}
...
x n = l 1 sin φ 1 + . . . + l n sin φ n {\displaystyle x_{n}=l_{1}\sin \varphi _{1}+...+l_{n}\sin \varphi _{n}}
y n = − l 1 cos φ 1 − . . . − l n cos φ n {\displaystyle y_{n}=-l_{1}\cos \varphi _{1}-...-l_{n}\cos \varphi _{n}}
Folglich können die kartesischen Koordinaten ( x k | y k ) {\displaystyle (x_{k}|y_{k})} der Massenpunkte m k {\displaystyle m_{k}} für k {\displaystyle k} ∈ {1,..., n {\displaystyle n} } und ihre zeitlichen Ableitungen in folgender Form geschrieben werden:
x k = ∑ i = 1 k l i sin φ i {\displaystyle x_{k}=\sum _{i=1}^{k}l_{i}\sin \varphi _{i}}
x ˙ k = ∑ i = 1 k l i φ ˙ i cos φ i {\displaystyle {\dot {x}}_{k}=\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\cos \varphi _{i}}
y k = − ∑ i = 1 k l i cos φ i {\displaystyle y_{k}=-\sum _{i=1}^{k}l_{i}\cos \varphi _{i}}
y ˙ k = ∑ i = 1 k l i φ ˙ i sin φ i {\displaystyle {\dot {y}}_{k}=\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\sin \varphi _{i}}
Lagrange-Funktion Kinetische Energie T {\displaystyle T} und Potential V {\displaystyle V} ergeben:
T ( φ 1 , . . . , φ n , φ ˙ 1 , . . . , φ ˙ n ) = ∑ k = 1 n m k 2 ( x ˙ k 2 + y ˙ k 2 ) {\displaystyle T(\varphi _{1},...,\varphi _{n},{\dot {\varphi }}_{1},...,{\dot {\varphi }}_{n})=\sum _{k=1}^{n}{\frac {m_{k}}{2}}({\dot {x}}_{k}^{2}+{\dot {y}}_{k}^{2})}
V ( φ 1 , . . . , φ n ) = g ∑ k = 1 n m k y k {\displaystyle V(\varphi _{1},...,\varphi _{n})=g\sum _{k=1}^{n}m_{k}y_{k}}
Somit ist die Lagrange-Funktion L = T − V {\displaystyle L=T-V} :
L ( φ 1 , . . . , φ n , φ ˙ 1 , . . . , φ ˙ n ) = 1 2 ∑ k = 1 n m k [ ( ∑ i = 1 k l i φ ˙ i cos φ i ) 2 + ( ∑ i = 1 k l i φ ˙ i sin φ i ) 2 ] + g ∑ k = 1 n ∑ i = 1 k m k l i cos φ i {\displaystyle L(\varphi _{1},...,\varphi _{n},{\dot {\varphi }}_{1},...,{\dot {\varphi }}_{n})={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n}m_{k}\left[\left(\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\cos \varphi _{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{k}l_{i}{\dot {\varphi }}_{i}\sin \varphi _{i}\right)^{2}\right]+g\sum _{k=1}^{n}\sum _{i=1}^{k}m_{k}l_{i}\cos \varphi _{i}}
Bewegungsgleichungen Die Bewegungsgleichungen des Multipendels n -ter Stufe ergeben sich aus
d d t ∂ L ∂ φ ˙ j − ∂ L ∂ φ j = 0 {\displaystyle {d \over dt}{\partial {L} \over \partial {{\dot {\varphi }}_{j}}}-{\partial {L} \over \partial {\varphi _{j}}}=0}
bzw.
d d t ∂ T ∂ φ ˙ j − ∂ ∂ φ j ( T − V ) = 0 {\displaystyle {d \over dt}{\partial {T} \over \partial {{\dot {\varphi }}_{j}}}-{\partial {} \over \partial {\varphi _{j}}}(T-V)=0}
für j {\displaystyle j} ∈ {1,..., n {\displaystyle n} }.
Die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten ( φ 1 , . . . , φ n {\displaystyle {\varphi _{1}},...,{\varphi _{n}}} ) stellen ein nichtlineares System von n {\displaystyle n} Differentialgleichungen zweiter Ordnung dar, welches für n > 1 {\displaystyle n>1} analytisch nicht lösbar ist.
Es kann bei 2 n {\displaystyle 2n} bekannten Nebenbedingungen, beispielsweise den Startwerten
( φ 1 ( t = 0 ) , . . . , φ n ( t = 0 ) , φ ˙ 1 ( t = 0 ) , . . . , φ ˙ n ( t = 0 ) ) , {\displaystyle \left(\varphi _{1}(t=0),...,\varphi _{n}(t=0),{\dot {\varphi }}_{1}(t=0),...,{\dot {\varphi }}_{n}(t=0)\right),}
mittels numerischer Verfahren gelöst werden. Zwecks Vereinfachung der Bewegungsgleichungen können Kleinwinkelnäherungen vorgenommen werden.
Für Stufen n > 1 {\displaystyle n>1} entstehen chaotische Bewegungsmuster. Hier führen bereits geringfügige Änderungen der lokalen Koordinaten oder ihrer zeitlichen Ableitungen zu deutlichen Änderungen im weiteren Bewegungsablauf.
Bewegungsgleichungen für ein- bis dreistufige Pendel
Mathematisches Pendel Für n = 1 {\displaystyle n=1} ergibt sich der einfache Fall des mathematischen Pendels.
Hier ergeben sich kinetische Energie T {\displaystyle T} und Potential V {\displaystyle V} zu
T ( φ , φ ˙ ) = m 2 l 2 φ ˙ 2 {\displaystyle T(\varphi ,{\dot {\varphi }})={\frac {m}{2}}l^{2}{\dot {\varphi }}^{2}}
V ( φ ) = − m g l cos φ {\displaystyle V(\varphi )=-mgl\cos \varphi }
mit m := m 1 , l := l 1 , φ := φ 1 {\displaystyle m:=m_{1},l:=l_{1},\varphi :=\varphi _{1}} .
Entsprechend ist die Bewegungsgleichung:
φ ¨ + g l sin φ = 0 {\displaystyle {\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\sin \varphi =0}
Mit der Kleinwinkelnäherung sin φ ≈ φ {\displaystyle \sin \varphi \approx \varphi } lässt sich die Gleichung vereinfachen:
φ ¨ + g l φ = 0 {\displaystyle {\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\varphi =0}
Eine zweckmäßige Lösung der Bewegungsgleichung ist
φ ( t ) = φ ( 0 ) cos ( g l t + α ) {\displaystyle \varphi (t)=\varphi (0)\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t+\alpha \right)} ,
sodass bei bekannten Startbedingungen für den Parameter α {\displaystyle \alpha } gilt:
α = arcsin ( − φ ˙ ( 0 ) φ ( 0 ) l g ) {\displaystyle \alpha =\arcsin \left(-{\frac {{\dot {\varphi }}(0)}{\varphi (0)}}{\sqrt {\frac {l}{g}}}\right)}
Das Pendel schwingt entsprechend harmonisch mit der Periode:
T = 2 π l g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}
Doppelpendel Der Fall n = 2 {\displaystyle n=2} stellt das Doppelpendel dar.
Hier ergeben sich kinetische Energie T {\displaystyle T} und Potential V {\displaystyle V} zu:
T ( φ 1 , φ 2 , φ ˙ 1 , φ ˙ 2 ) = m 1 2 l 1 2 φ ˙ 1 2 + m 2 2 ( l 1 2 φ ˙ 1 2 + l 2 2 φ ˙ 2 2 + 2 l 1 l 2 φ ˙ 1 φ ˙ 2 cos ( φ 1 − φ 2 ) ) {\displaystyle T(\varphi _{1},\varphi _{2},{\dot {\varphi }}_{1},{\dot {\varphi }}_{2})={\frac {m_{1}}{2}}l_{1}^{2}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}+{\frac {m_{2}}{2}}\left(l_{1}^{2}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}+l_{2}^{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}+2l_{1}l_{2}{\dot {\varphi }}_{1}{\dot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right)}
V ( φ 1 , φ 2 ) = − ( m 1 + m 2 ) g l 1 cos φ 1 − m 2 g l 2 cos φ 2 {\displaystyle V(\varphi _{1},\varphi _{2})=-(m_{1}+m_{2})gl_{1}\cos \varphi _{1}-m_{2}gl_{2}\cos \varphi _{2}}
Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:
m 2 l 2 φ ¨ 2 cos ( φ 1 − φ 2 ) + ( m 1 + m 2 ) l 1 φ ¨ 1 + m 2 l 2 φ ˙ 2 2 sin ( φ 1 − φ 2 ) + ( m 1 + m 2 ) g sin φ 1 = 0 {\displaystyle m_{2}l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}\cos \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right)l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}+m_{2}l_{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}\sin \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)+\left(m_{1}+m_{2}\right)g\sin \varphi _{1}=0}
und
l 2 φ ¨ 2 + l 1 φ ¨ 1 cos ( φ 1 − φ 2 ) − l 1 φ ˙ 1 2 sin ( φ 1 − φ 2 ) + g sin φ 2 = 0 {\displaystyle l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}+l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}\cos \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)-l_{1}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}\sin \left(\varphi _{1}-\varphi _{2}\right)+g\sin \varphi _{2}=0}
Ein Beispiel für ein Doppelpendel ist eine Glocke mit Klöppel.
Tripelpendel Der Fall n = 3 {\displaystyle n=3} stellt das Tripelpendel dar.
Hier ergibt sich die kinetische Energie T {\displaystyle T} zu:
T ( φ 1 , φ 2 , φ 3 , φ ˙ 1 , φ ˙ 2 , φ ˙ 3 ) = m 1 + m 2 + m 3 2 l 1 2 φ ˙ 1 2 + m 2 + m 3 2 l 2 2 φ ˙ 2 2 + m 3 2 l 3 2 φ ˙ 3 2 + ( m 2 + m 3 ) l 1 l 2 φ ˙ 1 φ ˙ 2 cos ( φ 1 − φ 2 ) {\displaystyle T(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},{\dot {\varphi }}_{1},{\dot {\varphi }}_{2},{\dot {\varphi }}_{3})={\frac {m_{1}+m_{2}+m_{3}}{2}}l_{1}^{2}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}+{\frac {m_{2}+m_{3}}{2}}l_{2}^{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}+{\frac {m_{3}}{2}}l_{3}^{2}{\dot {\varphi }}_{3}^{2}+(m_{2}+m_{3})l_{1}l_{2}{\dot {\varphi }}_{1}{\dot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}
+ m 3 l 1 l 3 φ ˙ 1 φ ˙ 3 cos ( φ 1 − φ 3 ) + m 3 l 2 l 3 φ ˙ 2 φ ˙ 3 cos ( φ 2 − φ 3 ) {\displaystyle +m_{3}l_{1}l_{3}{\dot {\varphi }}_{1}{\dot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{3})+m_{3}l_{2}l_{3}{\dot {\varphi }}_{2}{\dot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{3})}
Für das Potential V {\displaystyle V} gilt:
V ( φ 1 , φ 2 , φ 3 ) = − ( m 1 + m 2 + m 3 ) g l 1 cos φ 1 − ( m 2 + m 3 ) g l 2 cos φ 2 − m 3 g l 3 cos φ 3 {\displaystyle V(\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3})=-(m_{1}+m_{2}+m_{3})gl_{1}\cos \varphi _{1}-(m_{2}+m_{3})gl_{2}\cos \varphi _{2}-m_{3}gl_{3}\cos \varphi _{3}}
Entsprechend sind die Bewegungsgleichungen:
m 3 l 3 φ ¨ 3 cos ( φ 1 − φ 3 ) + ( m 2 + m 3 ) l 2 φ ¨ 2 cos ( φ 1 − φ 2 ) + ( m 1 + m 2 + m 3 ) l 1 φ ¨ 1 + m 3 l 3 φ ˙ 3 2 sin ( φ 1 − φ 3 ) {\displaystyle m_{3}l_{3}{\ddot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{3})+(m_{2}+m_{3})l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+(m_{1}+m_{2}+m_{3})l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}+m_{3}l_{3}{\dot {\varphi }}_{3}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{3})}
+ ( m 2 + m 3 ) l 2 φ ˙ 2 2 sin ( φ 1 − φ 2 ) + ( m 1 + m 2 + m 3 ) g sin φ 1 = 0 {\displaystyle +(m_{2}+m_{3})l_{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})+(m_{1}+m_{2}+m_{3})g\sin \varphi _{1}=0}
und
m 3 l 3 φ ¨ 3 cos ( φ 2 − φ 3 ) + ( m 2 + m 3 ) l 2 φ ¨ 2 + ( m 2 + m 3 ) l 1 φ ¨ 1 cos ( φ 1 − φ 2 ) − ( m 2 + m 3 ) l 1 φ ˙ 1 2 sin ( φ 1 − φ 2 ) {\displaystyle m_{3}l_{3}{\ddot {\varphi }}_{3}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{3})+(m_{2}+m_{3})l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}+(m_{2}+m_{3})l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})-(m_{2}+m_{3})l_{1}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})}
+ m 3 l 3 φ ˙ 3 2 sin ( φ 2 − φ 3 ) + ( m 2 + m 3 ) g sin φ 2 = 0 {\displaystyle +m_{3}l_{3}{\dot {\varphi }}_{3}^{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{3})+(m_{2}+m_{3})g\sin \varphi _{2}=0}
und
l 3 φ ¨ 3 + l 2 φ ¨ 2 cos ( φ 2 − φ 3 ) + l 1 φ ¨ 1 cos ( φ 1 − φ 3 ) − l 2 φ ˙ 2 2 sin ( φ 2 − φ 3 ) − l 1 φ ˙ 1 2 sin ( φ 1 − φ 3 ) + g sin φ 3 = 0 {\displaystyle l_{3}{\ddot {\varphi }}_{3}+l_{2}{\ddot {\varphi }}_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{3})+l_{1}{\ddot {\varphi }}_{1}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{3})-l_{2}{\dot {\varphi }}_{2}^{2}\sin(\varphi _{2}-\varphi _{3})-l_{1}{\dot {\varphi }}_{1}^{2}\sin(\varphi _{1}-\varphi _{3})+g\sin \varphi _{3}=0}
Simulation der Trajektorien Simulation:
n = 1 {\displaystyle n=1} Simulation:
n = 2 {\displaystyle n=2} Simulation:
n = 3 {\displaystyle n=3}
Literatur Georg Hamel: Theoretische Mechanik . Springer, Berlin 1967. Berichtiger Reprint 1978, ISBN 3-540-03816-7 Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik . 5. Auflage. VCH, Weinheim 1997, ISBN 3-527-29269-1 Landau / Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik. Band 1: Mechanik . 14. Auflage. Deutsch, Thun 1997, ISBN 3-8171-1326-9
Weblinks Doppelpendel-Simulation in Java und Python
Quellen L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Volume 1 of Course of Theoretical Physics . 3rd Edition 1976, ISBN 0-7506-2896-0, §5, S. 11 f. (englisch) Herleitung der Differentialgleichungen zur Beschreibung des Doppelpendels (englisch)