Multivektor

In der Mathematik ist ein Multivektor eine formale Summe von Ausdrücken der Form ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{n}}$ mit Vektoren ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}}$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. In Physik und Elektrotechnik ist das Rechnen mit Multivektoren oft nützlich.

Mathematisch handelt es sich bei Multivektoren um Elemente der äußeren Algebra ${\displaystyle \Lambda ^{*}V}$ eines Vektorraumes ${\displaystyle V}$. Diese Algebra ist graduiert und ein ${\displaystyle k}$-Vektor ist ein Element von ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$, also eine Summe von Produkten aus ${\displaystyle k}$ Vektoren ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{k}}$.

Man spricht von Skalaren, Vektoren, Bivektoren und Trivektoren, wenn es sich um ${\displaystyle k}$-Vektoren mit ${\displaystyle k=0,1,2}$ und ${\displaystyle 3}$ handelt.

Das für die Konstruktion von Multivektoren verwendete äußere Produkt ist multilinear (linear in jedem Argument), assoziativ und alternierend. Das heißt, dass für Vektoren ${\displaystyle u,v,w}$ in einem Vektorraum ${\displaystyle V}$ und für Skalare ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ gilt

• ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ;}$
• ${\displaystyle (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} );}$
• ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =0.}$

Wenn ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{d}}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$ bilden, dann bilden die ${\displaystyle \left({\begin{array}{c}d\\k\end{array}}\right)}$ äußeren Produkte von je ${\displaystyle k}$ Basisvektoren eine Basis von ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$.

Sei ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ eine Basis von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, dann kann man Vektoren im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ zerlegen als

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2},}$

und der Bivektor ${\displaystyle u\wedge v}$ berechnet sich als

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

Der Koeffizient ist die Determinante der Matrix, also der Flächeninhalt des von den Vektoren ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ aufgespannten Parallelogramms.

Der Bivektor ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}}$ ist eine Basis von ${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{2}}$.

Sei ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ eine Basis von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, dann kann man Vektoren im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ zerlegen als

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}$

und der Bivektor ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }$ berechnet sich als

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+{\begin{vmatrix}v_{1}&u_{1}\\v_{3}&u_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}$

Mithilfe des Vektorraumisomorphismus ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \Lambda ^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ definiert durch

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}\mapsto \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\\\mathbf {e} _{2}\mapsto \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{3}\mapsto \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\\\end{aligned}}}$

sieht man, dass die Komponenten des Bivektors ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }$ übereinstimmen mit denen des Kreuzprodukts ${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }$, d. h. es gilt ${\displaystyle \varphi (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }$.

Der Trivektor ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$ ist eine Basis von ${\displaystyle \Lambda ^{3}\mathbb {R} ^{3}}$. Man berechnet

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}).}$

Der Koeffizient ist die Determinante der Matrix, also das Volumen des von den Vektoren ${\displaystyle u,v}$ und ${\displaystyle w}$ aufgespannten Parallelepipeds.

In der Differentialgeometrie bezeichnet man als ${\displaystyle k}$-Vektor ein Element aus ${\displaystyle \Lambda ^{k}T_{x}M}$, wobei ${\displaystyle T_{x}M}$ der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ in einem Punkt ${\displaystyle x\in M}$ ist.

Ein Multivektorfeld ist ein Schnitt des ${\displaystyle \Lambda ^{k}TM}$ des Tangentialbündels ${\displaystyle TM}$.^[1]

1. ↑ Chiara Esposito: Formality Theory From Poisson Structures to Deformation Quantization. In: Springer Verlag (Hrsg.): Springer Briefs in Mathematical Physics Band 2. 2014, S. 12.