Nielsen-Thurston-Klassifikation

In der Mathematik beschreibt die Nielsen-Thurston-Klassifikation die möglichen Typen der Selbstabbildungen von Flächen.

Aufbauend auf Arbeiten von Jakob Nielsen wurde sie 1976 von William Thurston mittels der von ihm konstruierten Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums bewiesen. Einen direkten Beweis mittels Teichmüller-Theorie gab Lipman Bers.

Sei ${\displaystyle S}$ eine geschlossene orientierbare Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle g\geq 2}$ und sei

${\displaystyle f\colon S\to S}$

ein orientierungserhaltender Homöomorphismus. Dann gilt für ${\displaystyle f}$ mindestens eine der folgenden drei Alternativen.

1. ${\displaystyle f}$ ist periodisch: es gibt ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so dass ${\displaystyle f^{n}}$ isotop zur Identitätsabbildung ist
2. ${\displaystyle f}$ ist reduzibel: es gibt eine endliche Familie disjunkter einfacher geschlossener Kurven, die bis auf Isotopie von ${\displaystyle f}$ permutiert werden
3. ${\displaystyle f}$ ist pseudo-Anosovsch, d. h. Isotop zu einem Pseudo-Anosov-Diffeomorphismus

Thurston konstruierte eine Kompaktifizierung des Teichmüllerraums der Fläche ${\displaystyle S}$ durch den produktiven Raum der gemessenen Laminierungen auf ${\displaystyle S}$, so dass die Wirkung eines Homöomorphismus auf dieser Kompaktifizierung stetig ist. Thurstons Kompaktifizierung ist homöomorph zur abgeschlossenen (6g-6)-dimensionalen Vollkugel. Nach dem Fixpunktsatz von Brouwer muss die Wirkung von ${\displaystyle f}$ also einen Fixpunkt haben. Es gibt dann folgende Möglichkeiten:

1. wenn die Wirkung von ${\displaystyle f}$ einen Fixpunkt im Inneren, also im Teichmüllerraum hat, dann ist ${\displaystyle f}$ periodisch und der Fixpunkt entspricht einer hyperbolischen Metrik, bzgl. der ${\displaystyle f}$ isotop zu einer Isometrie ist
2. wenn ${\displaystyle f}$ reduzibel ist, also bis auf Isotopie eine Multikurve festlast, dann hat die Wirkung von ${\displaystyle f}$ einen Fixpunkt im Rand der Kompaktifizierung des Teichmüllerraums
3. wenn die Wirkung von ${\displaystyle f}$ zwei Fixpunkte im Rand der Kompaktifizierung des Teichmüllerraums hat, dann ist ${\displaystyle f}$ pseudo-Anosovsch und die beiden Fixpunkte entsprechen der stabilen und instabilen Laminierung des zu ${\displaystyle f}$ isotopen Pseudo-Anosov-Diffeomorphismus

Thurston benutzte die Klassifikation der Homöomorphismen von Flächen, um die Geometrisierung 3-dimensionaler Abbildungstori zu beweisen. Diese ist wie folgt:

1. wenn ${\displaystyle f}$ periodisch ist, dann hat der Abbildungstorus ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}\times \mathbb {R} }$-Geometrie
2. wenn ${\displaystyle f}$ reduzibel ist, dann hat der Abbildungstorus eine nichttriviale JSJ-Zerlegung
3. wenn ${\displaystyle f}$ pseudo-Anosovsch ist, dann hat der Abbildungstorus eine hyperbolische Struktur

Es gibt zahlreiche Algorithmen, die die Bestimmung des Nielsen-Thurston-Typs einer Abbildungsklasse in polynomieller Zeit (bzgl. der Wortlänge in der Abbildungsklassengruppe) ermöglichen.

• J. Nielsen: Surface transformation classes of algebraically finite type, Danske Vid. Selsk. Math.-Phys. Medd. 21, 89 (1944)
• W. Thurston: On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, Bull. Amer. Math. Soc. 19, 417–431 (1988)
• L. Bers: An extremal problem for quasiconformal mappings and a theorem by Thurston, Acta Math. 141, 73–98 (1978)
• A. Fathi, F. Lauterbach, V. Poenaru: Travaux de Thurston, Asterisque 66/67 (1979)