Die Niven-Konstante, benannt nach dem kanadisch-amerikanischen Mathematiker Ivan M. Niven, ist eine mathematische Konstante aus der Zahlentheorie. Sie ist definiert als der Grenzwert des arithmetischen Mittels der maximalen Exponenten der Primfaktorzerlegungen der ersten
natürlichen Zahlen für
.
Definition
Es sei
eine ganze Zahl mit der Primfaktorzerlegung
mit
und
für
, außerdem
und
das Maximum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von
(Folge A051903 in OEIS), zum Beispiel sind die Zahlen
mit
genau die quadratfreien Zahlen. Damit ist die Niven-Konstante definiert als
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}H(j).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9d7c77377a3ce3be0400547cb24caafa77901a)
Eigenschaften
Die Niven-Konstante lässt sich durch die Riemannsche Zetafunktion
ausdrücken und auf diesem Wege näherungsweise berechnen (Niven 1969):[1]
(Folge A033150 in OEIS)
Für das asymptotische Verhalten der Minima der Exponenten bewies Niven auf Anregung von Erdős
![{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}h(j)=n+{\frac {\zeta ({\tfrac {3}{2}})}{\zeta (3)}}{\sqrt {n}}+o({\sqrt {n}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582ae19dd6e0f6ec143f09021e07b7dd34ffa809)
wobei
und
das Minimum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von
(Folge A051904 in OEIS) und
ein Landau-Symbol ist. Somit ist insbesondere
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}h(j)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8d828b02873dafa696cad41c63b6698babf8dd)
Literatur
- Steven R. Finch: Niven’s constant. Kapitel 2.6 in Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 112–115 (englisch)
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Niven’s Constant. In: MathWorld (englisch).
- Folge A033151 in OEIS (Kettenbruchentwicklung der Niven-Konstante)
Einzelnachweise
- ↑ Ivan Niven: Averages of exponents in factoring integers. (18. Juni 1968), Proceedings of the AMS 22, 1969, S. 356–360 (englisch)