Der quaternionisch-hyperbolische Raum ist in der Mathematik ein mit Hilfe von Quaternionen definierter negativ gekrümmter symmetrischer Raum.
Definition
Seien
die Quaternionen und sei
der
-Vektorraum
mit der Quaternionisch-hermiteschen Form
![{\displaystyle \langle U,V\rangle =-u_{n+1}{\overline {v}}_{n+1}+\sum _{j=1}^{n}u_{j}{\overline {v}}_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0caa3245367c6285ad9a97ff8ab9f1d4f051eaec)
für
. (Hierbei ist die quaternionische Konjugation definiert durch
für reelle Zahlen a,b,c,d.)
Der n-dimensionale quaternionisch-hyperbolische Raum
ist
![{\displaystyle \mathbb {H} H^{n}=\left\{X\in \mathbb {H} ^{n,1}:\langle X,X\rangle =-1\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cbde38fbe738db49dcf7aec50c2095cbdedb00)
mit der von der Hermiteschen Form
induzierten Riemannschen Metrik.
Siegel-Modell
Eine äquivalente Definition erhält man mit dem Siegel-Modell.[1] Hier benutzt man die quaternionisch-hermitesche Form
, betrachtet das Bild von
unter der Projektion auf den projektiven Raum
und definiert
.
Geometrie
ist ein symmetrischer Raum vom Rang 1.
Für die Schnittkrümmung von Ebenen im
gilt die Ungleichung
. Ebenen in
haben Schnittkrümmung
, während die Ebene
die Schnittkrümmung
hat.
Isometrien und Quasi-Isometrien
Die Isometriegruppe des
ist
, dabei ist
die Lie-Gruppe
.
Alle Quasi-Isometrien des
haben endlichen Abstand von einer Isometrie.[2]
Quaternionisch-hyperbolische Mannigfaltigkeiten
Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt quaternionisch-hyperbolisch, wenn ihre universelle Überlagerung isometrisch zum
ist.
Weblinks
- Jean-François Quint: An overview of Patterson-Sullivan theory pdf
- Gongopadhyay, Parsad: Classification of quaternionic hyperbolic isometries pdf
Quellen
- ↑ Inkang Kim, John R. Parker: Geometry of quaternionic hyperbolic manifolds. In: Cambridge Philosophical Society: Mathematical Proceedings, 135 (2003), no. 2, 291–320. ISSN 0305-0041 pdf
- ↑ Pierre Pansu: Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un. In: Annals of Mathematics, (2) 129 (1989), no. 1, 1–60. ISSN 0003-486Xpdf