Der Satz von de Finetti (auch Darstellungssatz von de Finetti oder de Finetti’s representation theorem) ist ein Satz aus der Stochastik über austauschbare Familien von Zufallsvariablen benannt nach seinem Entdecker Bruno de Finetti.
Der Satz sagt, dass die Verteilung einer austauschbaren Folge von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen als ein Integral über bedingt unabhängige Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen betrachtet werden kann.
Sei
eine unendliche Folge von austauschbaren Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen mit Parameter
und Dichte
für
. Dann existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Verteilungsfunktion
, so dass für jedes
und jede Realisierung
gilt:
,
wobei
die Anzahl „erfolgreicher“ Bernoulli-Versuche bei
Versuchen ist.
Betrachtung als Gewichtung
Anders formuliert können wir auch sagen, es existiert eine Zufallsvariable
auf
mit Verteilungsfunktion
, so dass die
gegeben
bedingt unabhängig sind, das heißt
![{\displaystyle P(X_{1}=x_{1},\dots ,X_{N}=x_{N}\mid Y=p)=\prod \limits _{i=1}^{N}P(X_{i}=x_{i}\mid Y=p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120c6a8525636042b1bdded47dc37ab9fa934f89)
wobei
![{\displaystyle P(X_{i}=1\mid Y=p)=p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44287d1a32236e5042e57a642856d40bac559268)
für
gilt.
Weiter gilt nach de Finettis Gesetz der großen Zahlen
.
Weblinks
- Exchangeability and de Finetti’s Theorem