In der harmonischen Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, stellen Selbergsche Spurformeln einen Zusammenhang zwischen der Spur gewisser Operatoren und einer Summe geometrischer Terme her.
Während die Berechnung der Eigenwerte eines Differentialoperators oft unzugänglich ist, kann mit den Spurformeln zumindest eine Aussage über die Summe der Eigenwerte getroffen werden. Insbesondere der von Selberg ausgearbeitete Fall des Laplace-Beltrami-Operators lokal symmetrischer Räume vom Rang 1 hat Anwendungen in der analytischen Zahlentheorie, Darstellungstheorie und Differentialgeometrie.
Die allgemeinere Arthur-Selberg-Spurformel spielt eine wichtige Rolle im Langlands-Programm.
Sei
ein kokompaktes Gitter in einer lokalkompakten Gruppe
.
Für eine Testfunktion[1]
und eine Darstellung
von
definiert
![{\displaystyle \pi (f):=y\mapsto \int _{G}f(y)\pi (y)dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ca41d96fe7622e1f40db20e36459cecf43092e)
einen Spurklasseoperator auf dem Hilbert-Raum
.
Sei insbesondere
die rechtsreguläre Darstellung, also die unitäre Darstellung von
durch Rechtstranslationen auf dem Hilbertraum
. Dann kann man die Spur dieses Operators ausdrücken durch
,
wobei rechts über alle Konjugationsklassen summiert wird,
und
die Zentralisatoren von
in
bzw.
sind, und das Orbitintegral
durch
![{\displaystyle O_{\gamma }(f)=\int _{G_{\gamma }/G}f(x^{-1}\gamma x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b2a34a681d5ebead8ece7dc6eb5fd1e8e4f089)
definiert ist. (Mittels Fourier-Inversion kann dieses Orbitintegral durch Charaktere ausgedrückt werden.)
Nach dem Satz von Gelfand, Graev und Piatetski-Shapiro hat die rechtsreguläre Darstellung eine Zerlegung als direkte Summe irreduzibler Darstellungen. Für eine irreduzible Darstellung
bezeichne
ihre Vielfachheit in
. Damit ergibt sich die Spurformel
.
Der linke Ausdruck wird als die spektrale Seite der Spurformel bezeichnet, der rechte Ausdruck als die geometrische Seite der Spurformel.
Spezielle symmetrische Räume
Damit die allgemeine Spurformel nützlich ist, muss man die Distributionen
und
verstehen und in differentialgeometrischen Größen ausdrücken können. Dies ist insbesondere möglich für symmetrische Räume vom Rang 1, wo der Laplace-Operator (und seine Vielfachen) die einzigen invarianten Differentialoperatoren sind.
Im Folgenden bezeichne
die Eigenwerte des Laplace-Beltrami-Operators auf einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit. Wir verwenden
, womit
ist.
Kompakte Gruppen
Für eine kompakte Gruppe
mit neutralem Element
stimmt die Dimension einer Darstellung mit ihrer Vielfachheit in der regulären Darstellung überein und man erhält durch direkte Anwendung der allgemeinen Spurformel
.
Für den Kreis
gilt die Poissonsche Summenformel: für eine schnell fallende Funktion
und ihre Fourier-Transformierte
gilt
.
Das stellt einen Zusammenhang zwischen den Längen
der geschlossenen Geodäten und den Eigenwerten
des Laplace-Operators her. Man kann dies als eine Variante der Spurformel ansehen: auf der linken Seite steht ein geometrischer Term, auf der rechten Seite ein spektraler Term.
Die Sphäre
Für
sind die Eigenwerte des Laplace-Beltrami-Operators
mit Vielfachheit
, wobei
alle ganzen Zahlen durchläuft. Mit der Poissonschen Summenformel erhält man
.
Die rechte Seite lässt sich geometrisch interpretieren als von den Längen
geschlossener Geodäten abhängende Reihe.
Hyperbolische Flächen
Zur Formulierung der Spurformel verwendet man eine (beliebige) analytische Funktion
mit
für ein
und
. Mit einer solchen Funktion kann man die Spurformel für kokompakte Gitter in
wie folgt formulieren:
![{\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }f(\rho _{j})={\frac {\mathrm {vol} (\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2})}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\tanh(\pi x)\,dx+\sum _{\{\gamma \}\not =1}{\frac {\log N(\gamma _{0})}{N(\gamma )^{\frac {1}{2}}-N(\gamma )^{-{\frac {1}{2}}}}}{\widehat {f}}(\log N(\gamma )),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa4cbcd7f70336067ebd74e987effce40478dbc)
wobei auf der rechten Seite über alle Konjugationsklassen von Elementen
summiert wird,
die zugehörige primitive Transformation[2] bezeichnet, und
die Norm von
bezeichnet. Die rechte Seite lässt sich geometrisch interpretieren, weil
die Länge der
entsprechenden geschlossenen Geodäten in
ist.
Wegen der Kompaktheit der Fläche
bilden die Eigenwerte des Laplace-Operators eine diskrete Menge. Es gibt eine kompliziertere, das kontinuierliche Spektrum berücksichtigende, Formel für nichtkompakte hyperbolische Flächen endlichen Volumens.
Als Folgerung erhält man beispielsweise Weyls asymptotisches Gesetz für die Verteilung der Eigenwerte.
Symmetrische Räume vom Rang 1
Sei
ein symmetrischer Raum nichtkompakten Typs vom Rang 1, d. h.
für die Iwasawa-Zerlegung
. Sei
der Zentralisator von
in
und
eine parabolische Untergruppe. Für eine Darstellung
mit Darstellungsraum
sei
der Hilbert-Raum der
-Funktionen
mit
. Für
definiere
. Dann definiert
eine Darstellung von
auf
.
Aus der allgemeinen Spurformel folgt zunächst für
,
wobei über die Konjugationsklassen
summiert wird und
durch
definiert ist.
Dann hat man die Spurformel
.
Anmerkungen
- ↑ Der Raum der Testfunktionen
besteht per Definition aus den Linearkombinationen von Funktionen der Form
mit
. Der Raum
besteht aus den gleichmäßig integrierbaren, stetigen Funktionen. Eine Funktion heißt gleichmäßig integrierbar, wenn es eine kompakte Umgebung U der 1 gibt, so dass
eine
-Funktion auf
ist. - ↑ Weil
ein kokompaktes Gitter ist, sind alle
hyperbolisch und gehören zu einer zyklischen Untergruppe von
. Der Erzeuger dieser zyklischen Untergruppe wird als das primitive Element
bezeichnet.
Literatur
- A. Selberg: Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series, J. Indian Math. Soc. 20, 47–87, 1956. online
- D. Hejhal: The Selberg trace formula for PSL(2,R). Vol. I. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 548. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1976.
- J. Elstrodt: Die Selbergsche Spurformel für kompakte Riemannsche Flächen. Jahresber. d. Deutsche Math. Verein 83, 45–77, 1981.
- D. Zagier: Eisenstein series and the Selberg trace formula, Teil I
Weblinks
- Kapitel 4 in Müller: Spectral Theory of Automorphic Forms
- Bump: Spectral Theory and the Trace Formula