In der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, gibt die Standardabschätzung für Wegintegrale, auch bekannt als die ML-Ungleichung, eine obere Schranke für ein Konturintegral an. Wenn
eine komplexwertige, stetige Funktion auf der Kontur
ist und ihr Absolutwert
für alle
auf
durch eine Konstante
begrenzt ist, dann
![{\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|\leq M\,\ell (\Gamma ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b64a62e9b5a9e76af95512dfd58c35a24ac74ef4)
wobei
die Länge von
bezeichnet. Wir können das Supremum
![{\displaystyle M:=\sup _{z\in \Gamma }|f(z)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52cd5b7d64fd74f90027e86ec5a37743a39cb8ef)
als obere Schranke nehmen. Das Lemma wird oft genutzt, um zu zeigen, dass ein gewisses Integral für
gegen 0 geht.
Beweis
Der Beweis ist relativ einfach. Wir nutzen die Ungleichung für den Betrag eines Integrals:
![{\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|=\left|\int _{\alpha }^{\beta }f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right|\leq \int _{\alpha }^{\beta }\left|f(\gamma (t))\right|\left|\gamma '(t)\right|\,dt\leq \int _{\alpha }^{\beta }M\left|\gamma '(t)\right|\,dt=M\int _{\alpha }^{\beta }\left|\gamma '(t)\right|\,dt=M\,\ell (\Gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7855cd48cb32b69212e997a6496d8c9ffb281c)
Siehe auch
Literatur
- E. B. Saff, A. D. Snider: Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science, and Engineering. 2. Auflage, Prentice Hall, 1993, ISBN 978-0133274615.
- J.M. Howie: Complex Analysis. Springer, 2003.