Symbolklasse

Symbolklassen sind mathematische Objekte aus dem Bereich der partiellen Differentialgleichungen. Sie wurden von Lars Hörmander eingeführt^[1] und werden deshalb manchmal auch Hörmander-Klassen^[2] genannt. Ihre Elemente sind eine Verallgemeinerung des Symbols eines Differentialoperators.

Möchte man Verallgemeinerungen von Differentialoperatoren wie zum Beispiel Pseudodifferentialoperatoren oder Fourier-Integraloperatoren betrachten, so kann man auch Symbole von reellem Grad verwenden beziehungsweise untersuchen. Zu diesem Zweck wurden die Symbolklassen von Lars Hörmander eingeführt.

Seien ${\displaystyle n,N\in \mathbb {N} }$ natürliche Zahlen, ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Teilmenge und ${\displaystyle m,\rho ,\delta }$ reelle Zahlen mit ${\displaystyle 0<\rho \leq 1}$ und ${\displaystyle 0\leq \delta <1}$. Dann versteht man unter ${\displaystyle S_{\rho ,\,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$ die Menge aller glatten Funktionen ${\displaystyle a\in C^{\infty }(X\times \mathbb {R} ^{N})}$, so dass für jede kompakte Menge ${\displaystyle K\subset X}$ und alle ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} \cup \{0\}}$ die Ungleichung

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}a(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha ,\beta ,K}(1+|\xi |)^{m-\rho |\alpha |+\delta |\beta |}}$

für eine Konstante ${\displaystyle C_{\alpha ,\beta ,K}}$ erfüllt ist. Die Elemente von ${\displaystyle S_{\rho ,\,\delta }^{m}}$ werden Symbole der Ordnung ${\displaystyle m}$ und des Typs ${\displaystyle (\rho ,\delta )}$ genannt. Außerdem werden die Symbolklassen ${\displaystyle S^{-\infty }}$ und ${\displaystyle S^{\infty }}$ durch

${\displaystyle {\begin{aligned}S^{-\infty }&:=\bigcap _{m\in \mathbb {R} }S_{\rho ,\delta }^{m}\\S_{\rho ,\delta }^{\infty }&:=\bigcup _{m\in \mathbb {R} }S_{\rho ,\delta }^{m}\end{aligned}}}$

definiert.

Die besten Konstanten der Ungleichung

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}a(x,\xi )\right|\leq C_{\alpha ,\beta ,K}(1+|\xi |)^{m-\rho |\alpha |+\delta |\beta |}}$

das heißt die Konstanten

${\displaystyle p_{K,\alpha ,\beta }(a):=\sup _{x\in K;\ \xi \in \mathbb {R} ^{n}}{\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}a(x,\xi )(1+|\xi |)^{-m+\rho |\alpha |-\delta |\beta |}}$

sind Halbnormen. Diese machen die Räume ${\displaystyle S^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n})}$ zu Fréchet-Räumen. Da ${\displaystyle \textstyle S^{-\infty }:=\bigcap _{m\in \mathbb {R} }S_{\rho ,\delta }^{m}=\bigcap _{m\in \mathbb {Z} }S_{\rho ,\delta }^{m}}$ gilt und der abzählbare Durchschnitt von Fréchet-Räumen wieder ein Fréchet-Raum ist, ist auch ${\displaystyle S^{-\infty }}$ ein Fréchetraum.

Sei ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ eine offene Teilmenge.

• Identifiziert man den Raum der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit dem Raum der konstanten Funktionen, so ist dieser ein Teilraum von ${\displaystyle S_{1,0}^{0}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$.
• Sei

${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

mit Koeffizientenfunktionen ${\displaystyle a_{\alpha }\in C^{\infty }(X)}$ ein Symbol eines Differentialoperators der Ordnung ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$. Dann gilt ${\displaystyle p\in S_{1,0}^{k}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$.^[3]

• Sei ${\displaystyle p(\xi )=(1+|\xi |^{2})^{m/2}}$ mit ${\displaystyle -\infty <m<\infty }$. Dann gilt ${\displaystyle p\in S_{1,0}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$.^[3]

• Die Symbolklassen ${\displaystyle S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$ sind für alle ${\displaystyle m\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}$, ${\displaystyle 0<\rho \leq 1}$ und ${\displaystyle 0\leq \delta <1}$ Montel-Räume.
• Differenzieren des Symbols nach der zweiten Variablen verbessert (also verringert) die Ordnung. Präzise bedeutet dies, dass die Abbildung

${\displaystyle p\mapsto {\frac {\partial ^{\beta }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial ^{\alpha }}{\partial \xi ^{\alpha }}}p(x,\xi )\colon S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})\to S_{\rho ,\delta }^{m-\rho |\alpha |}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$

linear und stetig ist.

• Multiplizieren zweier Symbole ergibt wieder ein Symbol, es gilt nämlich

${\displaystyle (p,{\tilde {p}})\mapsto p(x,\xi ){\tilde {p}}(x,\xi )\colon S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})\times S_{\rho ,\delta }^{m'}(X\times \mathbb {R} ^{N})\to S_{\rho ,\delta }^{m+m'}(X\times \mathbb {R} ^{N})\,.}$

Diese Abbildung ist bilinear und stetig.

• Für ${\displaystyle m\leq m'}$ gilt ${\displaystyle S_{1,0}^{m}\subset S_{1,0}^{m'}}$.
• Sei ${\displaystyle a\in C^{\infty }(X\times \mathbb {R} ^{N})}$ positiv homogen vom Grad m für ${\displaystyle |\xi |\geq 1}$, das heißt

${\displaystyle a(x,\lambda \xi )=\lambda ^{m}a(x,\xi )}$

für ${\displaystyle \lambda \geq 1}$ und ${\displaystyle |\xi |\geq 1}$. Dann gilt ${\displaystyle a\in S_{1,0}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$.

• Sei ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{N}}$ offen und ${\displaystyle m<m'}$. Auf beschränkten Teilmengen von ${\displaystyle S_{1,0}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$ ist die durch ${\displaystyle S_{1,0}^{m'}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$ induzierte Topologie die Topologie der punktweisen Konvergenz.
• Sei ${\displaystyle m<m'}$. Dann ist ${\displaystyle S^{-\infty }(X\times \mathbb {R} ^{N})}$ in der ${\displaystyle S_{1,0}^{m'}}$-Topologie dicht in ${\displaystyle S_{1,0}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$.

Sei ${\displaystyle a\in S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$ ein Symbol. Existieren ${\displaystyle a_{i}\in S_{\rho ,\delta }^{m_{i}}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$ mit

${\displaystyle m=m_{0}>m_{1}>\ldots >m_{i}\to -\infty \quad i\to \infty \,,}$

so dass

${\displaystyle a-\sum _{j=0}^{N-1}a_{j}\in S_{\rho ,\delta }^{m_{N}}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$

für jede positive Zahl ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ gilt. Die formale Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}}$ ist eine asymptotische Entwicklung von ${\displaystyle a}$ und man schreibt

${\displaystyle a\sim \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\,.}$^[4]

Die asymptotisch Entwicklung eines Symbols ist eindeutig modulo Symbole der Klasse ${\displaystyle S^{-\infty }(X\times \mathbb {R} ^{N})}$. Präzise formuliert heißt das:

Sei ${\displaystyle m_{0}>m_{1}>\ldots >m_{i}\to \infty }$ eine Zerlegung mit ${\displaystyle i\to \infty }$ und sei ${\displaystyle a_{i}\in S_{\rho ,\delta }^{m_{i}}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$. Dann existiert ein Symbol ${\displaystyle a\in S_{\rho ,\delta }^{m_{0}}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$, so dass

${\displaystyle a\sim \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}}$

gilt. Gibt es ein weiteres Symbol ${\displaystyle b}$ mit der gleichen asymptotischen Entwicklung, dann gilt ${\displaystyle a-b\in S^{-\infty }(X\times \mathbb {R} ^{N})}$.^[5]

Ein klassisches Symbol ist ein Spezialfall eines Symbols aus dem Raum ${\displaystyle S_{1,0}^{m}.}$ Diese erweisen sich im Zusammenhang mit Pseudo-Differentialoperatoren als einfacher zu handhaben. Eingeführt wurde diese Klasse von Funktionen von den Mathematikern Joseph Kohn und Louis Nirenberg.^[6]

Ein Symbol ${\displaystyle a\in S_{1,0}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$ heißt klassisches Symbol und man schreibt dafür ${\displaystyle a\in S_{cl}^{m}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$, wenn es eine Ausschälfunktion ${\displaystyle \phi \in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})}$ gibt und Funktionen ${\displaystyle a_{j}\in C^{\infty }(X\times (\mathbb {R} ^{N}\backslash \{0\}))}$, so dass jedes ${\displaystyle a_{j}}$ positiv homogen von der Ordnung ${\displaystyle m-j}$ in der Variablen ${\displaystyle \xi }$ ist. Es muss also

${\displaystyle a_{j}(x,t\xi )=t^{m-j}a_{j}(x,\xi )\qquad \forall (x,t,\xi )\in X\times \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {R} _{+}}$

gelten und außerdem muss

${\displaystyle a(x,\xi )-\sum _{j=0}^{k-1}\phi (x)a_{j}(x,\xi )\in S^{m-k}(X\times \mathbb {R} ^{N})}$

für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ gelten. Dies liefert eine asymptotische Entwicklung von ${\displaystyle a}$.

1. ↑ Alain Grigis & Johannes Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators: an introduction, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3, Seite 40.
2. ↑ M. A. Shubin: Pseudo-differential operator. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
3. ↑ ^{a b} Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 29. 
4. ↑ Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 33. 
5. ↑ Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 33–36. 
6. ↑ J.J. Kohn, L. Nirenberg: On the algebra of pseudo-differential operators, Comm. Pure Appl. Math. 18 (1965), 269–305.

• Hörmander, Lars - The analysis of linear partial differential operators 1.. Distribution theory and fourier analysis, 2. Edition, Springer-Verlag, 1990, ISBN 3-540-52345-6
• Hörmander, Lars - The analysis of linear partial differential operators 3.. Pseudo-differential operators, Springer-Verlag, Berlin, 1994, ISBN 978-3-540-49937-4