Total geodätische Untermannigfaltigkeit

Total geodätische Untermannigfaltigkeiten kommen in der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, vor. Sie verallgemeinern den Begriff der Hyperebenen in euklidischen Räumen auf riemannsche Mannigfaltigkeiten.

Eine Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle N}$ einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ heißt total geodätisch, wenn jede Geodäte in ${\displaystyle N}$ auch eine Geodäte in ${\displaystyle M}$ ist.

Eine äquivalente Bedingung ist, dass die zweite Fundamentalform von ${\displaystyle N}$ identisch ${\displaystyle 0}$ ist.^[1]

• Wenn ${\displaystyle f\colon M\rightarrow M}$ eine Isometrie einer riemannschen Mannigfaltigkeit ist, dann ist die Fixpunkt-Menge

${\displaystyle N:=\left\{x\in M:f(x)=x\right\}}$

eine total geodätische Untermannigfaltigkeit.

• Ebenen im euklidischen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ sind Fixpunkt-Mengen von Spiegelungen und deshalb total geodätische Flächen.
• Allgemeiner sind Untervektorräume des euklidischen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ total geodätisch.
• Großkreise auf der Sphäre sind ebenfalls Fixpunkt-Mengen von Spiegelungen und deshalb total geodätisch.
• Für ${\displaystyle k<n}$ ist der projektive Raum ${\displaystyle P^{k}\mathbb {C} }$ eine total geodätische Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle P^{n}\mathbb {C} }$ und ${\displaystyle P^{k}\mathbb {R} }$ eine total geodätische Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle P^{n}\mathbb {R} }$.
• Viele riemannsche Mannigfaltigkeiten besitzen keine total geodätischen Untermannigfaltigkeiten der Kodimension 1.
• Eine Fläche in einer hyperbolischen ${\displaystyle 3}$-Mannigfaltigkeit ist homotop zu einer total geodätischen Fläche genau dann, wenn sie azylindrisch ist.
• Die total geodätischen Flächen hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten bilden dichte Teilmengen in den Teichmüller-Räumen geschlossener, orientierbarer Flächen.^[2]

do Carmo, Manfredo Perdigão: Riemannian geometry. Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. ISBN 0-8176-3490-8

Manifold Atlas

1. ↑ Jost, Jürgen: Riemannian geometry and geometric analysis. Sixth edition. Universitext. Springer, Heidelberg, 2011. ISBN 978-3-642-21297-0 (Theorem 3.4.3)
2. ↑ Fujii, Michihiko; Soma, Teruhiko: Totally geodesic boundaries are dense in the moduli space. J. Math. Soc. Japan 49 (1997), no. 3, 589–601.