Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
In der Mathematik besagt die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, dass das arithmetische Mittel von n Zahlen mindestens so groß wie das geometrische Mittel ist. Für war diese Ungleichung bereits Euklid bekannt; der erste Beweis für einen beliebigen Wert von wurde 1729 von Colin Maclaurin veröffentlicht.[1]
Inhaltsverzeichnis
1Formale Formulierung
2Geometrische Interpretation
3Beweise
3.1Beweis aus der jensenschen Ungleichung
3.2Beweis von Polya
3.3Induktive Beweise
3.3.1Beweis mit Vorwärts-Rückwärts-Induktion
3.3.2Beweis mittels Hilfssatz
3.3.3Beweis aus der Bernoulli-Ungleichung
3.4Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung
4Sonderfälle
4.1Zahl und ihr Kehrwert
4.2Durch Permutationen bestimmte Brüche
5Verallgemeinerungen
5.1Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel
5.2Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel
5.3Ungleichung der verallgemeinerten Mittel
6Siehe auch
7Literatur
8Einzelnachweise
Formale Formulierung
Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lautet für nichtnegative Zahlen
Die linke Seite der Ungleichung ist das geometrische Mittel und die rechte Seite das arithmetische Mittel. Es gilt genau dann Gleichheit, wenn gilt.
Geometrische Interpretation
Figur 1: Ungleichung: (Veranschaulichung im Halbkreis)Figur 2: Ungleichung: (Veranschaulichung im Quadrat)
Ein Rechteck mit den Seiten und hat den Gesamtumfang . Ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt hat den Umfang . Für besagt die Ungleichung
also, dass unter allen Rechtecken mit gleichem Inhalt der Umfang mindestens
beträgt, wobei das Quadrat diesen geringsten Umfang hat.
Im Falle sagt die Ungleichung aus, dass unter allen Quadern mit gleichem Volumen der Würfel die kleinste Kantenlänge insgesamt hat. Die allgemeine Ungleichung erweitert diese Idee auf Dimensionen.
Trägt man für die Längen und hintereinander auf einer Geraden ab und errichtet über den Enden der Strecke mit Länge einen Halbkreis, so entspricht der Radius von jenem dem arithmetischen Mittel (Figur 1). Das geometrische Mittel ist dann die Länge des Lotes eines solchen Punktes auf dem Halbkreis auf die Strecke mit Länge , für den das Lot durch den Übergangspunkt der Strecken und geht. Letzterer Zusammenhang folgt aus dem Satz des Thales und dem Höhensatz.
Eine weitere geometrische Veranschaulichung liefert Figur 2.[2][3] Ein Quadrat mit der Seitenlänge lässt sich zerlegen in acht kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Kathetenlängen und und ein Quadrat mit der Seitenlänge . Hieraus ergibt sich:
Vergleich von arithmetischem, geometrischem und weiteren Mittelwerten zweier positiver reeller Zahlen und in dimensionsloser Darstellung
Beweise
Für den Fall, dass ein gleich Null ist, ist das geometrische Mittel Null und die Ungleichung ist offensichtlich erfüllt; in den folgenden Beweisen kann daher angenommen werden.
Beweis aus der jensenschen Ungleichung
Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lässt sich beispielsweise aus der jensenschen Ungleichung beweisen: die Logarithmusfunktion ist konkav, daher gilt
für positive mit .
Durch Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten folgt
.
Für ergibt das genau die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.
Beweis von Polya
Von George Polya stammt ein Beweis, der lediglich die Beziehung der Exponentialfunktion voraussetzt. Für gilt dann
.
Multipliziert man diese Ungleichungen für , so erhält man
,
also
und somit
.
Induktive Beweise
Der Beweis aus der jensenschen Ungleichung und der Polya-Beweis sind zwar sehr leicht verständlich, haben aber den Nachteil, dass Vorwissen über die Logarithmusfunktion beziehungsweise der Exponentialfunktion benötigt wird. Für die Untersuchung der bei der Definition der Exponentialfunktion verwendeten Folge
kann aber die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel hilfreich sein. Methodisch sind daher oft induktive Beweise zweckmäßiger; diese sind für die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel aber relativ schwierig.
Beweis mit Vorwärts-Rückwärts-Induktion
Ein induktiver Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel kann mit einer so genannten »Vorwärts-Rückwärts-Induktion« geführt werden. Der Vorwärtsschritt leitet aus der Gültigkeit der Ungleichung für diejenige für ab und gehorcht dem Schema der gewöhnlichen vollständigen Induktion. Im sog. »Rückwärtsschritt« wird aus der Gültigkeit der Ungleichung für die Gültigkeit für hergeleitet.
Herleitung
Fall 2: Für zwei Elemente gilt:
Sind sie verschieden, dann ist
und
Fall A: ist eine Zweierpotenz Dieser aufsteigende (»Vorwärts«-) Induktionsschritt sei etwas allgemeiner bewiesen: Gilt die Induktionsvoraussetzung
für Elemente, dann gilt
für Elemente. Beweis: Für sei und für sei gesetzt. Dann ist
Die Gleichheit erfordert und also gleiche und gleiche sowie Zusammengenommen ergibt das: alle sind gleich.
Fall B: ist keine Zweierpotenz (Dieser Teil des Beweises firmiert als »Rückwärts«-Induktionsschritt.) Zu jedem gibt es ein mit . Zur Abkürzung sei und sowie gesetzt. In Fall A wurde die Ungleichung für Elemente bereits bewiesen, woraus folgt:
Somit folgt für :
woraus
und
und
folgt. Gemäß Fall A gilt Gleichheit nur, wenn alle Elemente gleich sind.
Ein anderer Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ergibt sich aus dem Hilfssatz, dass für und folgt, dass . Dieser Beweis stammt von G. Ehlers.[5] Der Hilfssatz kann beispielsweise mit vollständiger Induktion bewiesen werden. Betrachtet man das Produkt und setzt , so erfüllen die so definierten nämlich die Voraussetzung des Hilfssatzes. Aus dem Hilfssatz folgt
,
also
.
Einsetzen von liefert dann die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.
Beweis aus der Bernoulli-Ungleichung
Ein direkter induktiver Beweis ist mit Hilfe der bernoullischen Ungleichung möglich: Sei o. B. d. A. das maximale Element von und das arithmetische Mittel von . Dann gilt , und aus der bernoullischen Ungleichung folgt, wenn man die Summanden mit den Indizes 1 bis von dem Summanden mit dem Index „trennt“, dass
.
Multiplikation mit liefert
,
wobei die letzte Ungleichung nach Induktionsvoraussetzung gilt. Das Ziehen der -ten Wurzel beendet den Induktionsbeweis.
Dieser Beweis findet sich beispielsweise im Lehrbuch der Analysis von H. Heuser, Teil 1, Kapitel 12.2.
Beweis aus der Umordnungs-Ungleichung
Ein nicht-induktiver Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel, der ohne Logarithmusfunktion auskommt, lässt sich mit Hilfe der Umordnungs-Ungleichung durchführen. Aus der Umordnungs-Ungleichung folgt nämlich, dass für positive Zahlen und jede beliebige Permutation die Beziehung
gelten muss. Setzt man speziell
so folgt also
woraus unmittelbar die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel folgt.
Sonderfälle
Zahl und ihr Kehrwert
Beweisfigur zu der verschärften Ungleichung
Für , und ergibt sich:
und damit
Diese Aussage lässt sich direkt beweisen: Die Multiplikation mit ergibt:
was offensichtlich richtig ist.
Die Ungleichung lässt sich verschärfen zu
.
Beweis:
Der linke Teil der Ungleichung ergibt sich aus dem Garfield-Trapez durch Längenvergleich der nicht-parallelen Trapezseiten (siehe Beweisfigur):
Hieraus folgt nach elementaren algebraischen Umformungen:
Der rechte Teil der Ungleichung folgt aus
,
wenn man durch ersetzt. Dann gilt:
Damit sind beide Teile der Ungleichung bewiesen.[6]
Für , , mit und , mit erhält man die youngsche Ungleichung
Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel
Fordert man echt größer Null und ersetzt in der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel durch , so erhält man die Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel:
.
Diese Ungleichung gilt ebenfalls für die gewichteten Mittel:
.
Ungleichung der verallgemeinerten Mittel
Als Hölder-Mittel mit Exponent bezeichnet man den Ausdruck
Allgemein gilt für die verallgemeinerte Mittelwertungleichung:
Diese Ungleichung lässt sich z. B. beweisen, indem man setzt und und in die Hölder-Ungleichung mit einsetzt, oder indem man die jensensche Ungleichung für die konvexe Funktion auf die Werte anwendet.
Auch diese Ungleichung gilt ebenfalls für die gewichteten Mittel: Sei
das mit gewichtete Mittel mit Exponent der Zahlen , so gilt für die Ungleichung:
.
Diese Ungleichung lässt sich ebenfalls aus der Hölder-Ungleichung beweisen, indem man sowie setzt, oder ebenfalls, indem man die jensensche Ungleichung für die konvexe Funktion auf die Werte anwendet.
Übertragen auf Integrale über den Maßraum mit einem endlichen Maß nimmt die Ungleichung der verallgemeinerten Mittel die Form
an; insbesondere folgt daraus für diese Lp-Räume.
Siehe auch
Eine andere Verallgemeinerung der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist die Muirhead-Ungleichung.
Aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lässt sich die Cauchy-Schwarz-Ungleichung ableiten.
Literatur
Pavel P. Korowkin: Ungleichungen (= Hochschulbücher für Mathematik. Kleine Ergänzungsreihe. 4 = Mathematische Schülerbücherei. 9, ISSN0076-5449). 6. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1970.
Einzelnachweise
↑Paul J. Nahin: When Least is Best. Princeton University Press, Princeton N.J. 2004, ISBN 0-691-07078-4, S. 331–333: Appendix A. The AM-GM Inequality.
↑Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag BerlinHeidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 138
↑Mathematics and Computer Education, vol. 31, no. 2 (Spring 1997), S. 191
↑Cauchy, Augustin-Louis. Analyse algébrique. Der Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist auf Seite 457 ff. Eine Titulierung à la Vorwärts-Rückwärts-Induktion findet sich in dem Artikel nicht.
↑W.D. Hayes: Colloquium on linear equations. Office of Naval Research Technical Report ONRL-35-54 (1954) (PDF; 2,0 MB)
↑Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 28 und 264