Coordenadas cónicas

Las coordenadas cónicas, a veces llamadas coordenadas esferoconales o esferocónicas,^[1]​ son un sistema de coordenadas tridimensional ortogonal que consta de esferas concéntricas (descritas por su radio r) y por dos familias de conos elípticos perpendiculares entre sí, alineados según los ejes z y x, respectivamente. Las intersecciones entre cada uno de los conos y la esfera forman dos cónicas esféricas.

Las coordenadas cónicas ${\displaystyle (r,\mu ,\nu )}$ están definidas por

${\displaystyle x={\frac {r\mu \nu }{bc}}}$

${\displaystyle y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}}$

${\displaystyle z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}-c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}}}$

con las siguientes limitaciones en las coordenadas

${\displaystyle \nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.}$

Las superficies de constante r son esferas de ese radio centradas en el origen

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},}$

mientras que las superficies de constantes ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \nu }$ son conos mutuamente perpendiculares

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0}$

y

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\nu ^{2}-c^{2}}}=0.}$

En este sistema de coordenadas, tanto la ecuación de Laplace como la ecuación de Helmholtz son separables.

El factor de escala para el radio r es uno (h_r= 1), como en las coordenadas esféricas. Los factores de escala para las dos coordenadas cónicas son

${\displaystyle h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}}$

y

${\displaystyle h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right)\left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}.}$

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 659. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515. 
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 183–184. LCCN 55010911. 
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 179. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7. 
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. pp. 991–100. LCCN 67025285. 
• Arfken G (1970). Mathematical Methods for Physicists (2nd edición). Orlando, FL: Academic Press. pp. 118-119. ASIN B000MBRNX4. 
• Moon P, Spencer DE (1988). «Conical Coordinates (r, θ, λ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print edición). New York: Springer-Verlag. pp. 37-40 (Table 1.09). ISBN 978-0-387-18430-2. 

• Descripción de MathWorld de coordenadas cónicas