Cosenos directores

En cálculo vectorial, los cosenos directores de un vector en el espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ son los valores del coseno de sus ángulos de dirección, es decir, el ángulo entre el vector y los tres vectores de base canónica ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$, ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$ .^[1]​

Para el vector ${\displaystyle {\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}}$, los cosenos de dirección son

${\displaystyle \cos \alpha _{1}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{1}}{|{\vec {v}}|\,|{\vec {e}}_{1}|}}={\frac {v_{1}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {v_{1}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}}$ ,

${\displaystyle \cos \alpha _{2}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{2}}{|{\vec {v}}|\,|{\vec {e}}_{2}|}}={\frac {v_{2}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {v_{2}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}}$ ,

${\displaystyle \cos \alpha _{3}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{3}}{|{\vec {v}}|\,|{\vec {e}}_{3}|}}={\frac {v_{3}}{|{\vec {v}}|}}={\frac {v_{3}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}}}$ ,

tal y como se puede ver en los triángulos de colores de la figura adyacente. El vector ${\displaystyle {\vec {v}}}$ puede expresarse por su magnitud y la dirección de los cosenos,

${\displaystyle {\vec {v}}=|{\vec {v}}|{\begin{pmatrix}\cos \alpha _{1}\\\cos \alpha _{2}\\\cos \alpha _{3}\end{pmatrix}}}$ .

Cuando se divide por ${\displaystyle |{\vec {v}}|}$, se puede ver que los cosenos de dirección son precisamente las componentes del vector unitario ${\displaystyle {\vec {e}}_{v}}$ en la dirección de ${\displaystyle {\vec {v}}}$,

${\displaystyle {\vec {e}}_{v}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha _{1}\\\cos \alpha _{2}\\\cos \alpha _{3}\end{pmatrix}}}$ .

Puesto que ${\displaystyle |{\vec {e}}_{v}|=1}$, se tiene que

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha _{1}+\cos ^{2}\alpha _{2}+\cos ^{2}\alpha _{3}=1}$ .

Dado que los ángulos de dirección están limitados al rango entre ${\displaystyle 0}$ y ${\displaystyle \pi }$ y el coseno es reversible en este intervalo, los tres ángulos de dirección se dan también con los cosenos de dirección.

1. ↑ Weisstein, Eric W. «Cosenos directores». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.