Criterio de la raíz

En matemáticas, el criterio de la raíz o criterio de Cauchy es un método para determinar la convergencia de una serie usando la cantidad

${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

donde ${\displaystyle a_{n}}$ son los términos de la serie. El criterio dice que la serie converge absolutamente si esta cantidad es menor que la unidad y que diverge si es mayor que la unidad. Es particularmente útil en relación con las series de potencias.

El criterio establece que:

• Si C < 1, entonces la serie converge absolutamente
• Si C > 1, entonces la serie diverge,
• Si C = 1 y ${\displaystyle |a_{n}|>1}$ de cierto ${\displaystyle n}$ en adelante, entonces la serie diverge.
• En otros caso el criterio no lleva a ninguna conclusión.

Hay algunas series en que C= 1 y la serie converge, por ejemplo,${\displaystyle \textstyle \sum 1/{n^{2}}}$, y hay otros para los que C= 1 y la serie diverge, por ejemplo, ${\displaystyle \textstyle \sum 1/n}$.

Este criterio se puede utilizar con una serie de potencias

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}}$

donde los coeficientes c_n, y el centro p son números complejos, y el argumento z es una variable compleja.

Los términos de esta serie vendrían dados por a_n = c_n(z − p)ⁿ. Entonces se aplica el criterio de la raíz a a_n como se vio más arriba. Tenga en cuenta que a veces una serie como esta se llama una serie de potencias "alrededor de p", ya que el radio de convergencia es el radio R del mayor intervalo o disco centrado en p de manera que el serie converge para todos los puntos z estrictamente en el interior del intervalo o disco. Como corolario del criterio de la raíz se obtiene que el radio de convergencia es exactamente ${\displaystyle 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$, teniendo cuidado de que es ∞ si el denominador es 0.

La prueba de la convergencia de una serie Σa_n es una aplicación del criterio de comparación. Si para todo n ≥ N (N algún número natural fijo) tenemos ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}<k<1,}$ entonces ${\displaystyle a_{n}<k^{n}<1.}$ Puesto que la serie geométrica ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}}$ converge, también converge ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=N}^{\infty }a_{n}}$ por el criterio de comparación. La convergencia absoluta en el caso de a_n no positivos puede ser probada de la misma forma usando ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}.}$

Si ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}$ de un número infinito de n, entonces los a_n no convergen a 0, por lo tanto, la serie es divergente.

• Criterio de d'Alembert

• Knopp, Konrad (1956). «§ 3.2». Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60153-6. 
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). «§ 2.35». A Course in Modern Analysis (fourth edition edición). Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3. 

Prueba del criterio de la raíz (en inglés) en PlanetMath.