Cuádrica de Klein

En matemáticas, las líneas de un espacio proyectivo tridimensional S, pueden verse como puntos de un espacio proyectivo de 5 dimensiones, T. En ese espacio de 5 dimensiones, los puntos que representan cada línea en S se encuentran en un cuádrica Q, conocida como cuádrica de Klein.^[1]​

Si el espacio vectorial subyacente de S es el espacio vectorial de 4 dimensiones V, entonces T tiene como espacio vectorial subyacente de 6 dimensiones el producto exterior Λ²V de V. Las coordenadas de la recta obtenidas de esta forma se conocen como coordenadas plückerianas.

Estas coordenadas de Plücker satisfacen la relación cuadrática

${\displaystyle p_{12}p_{34}+p_{13}p_{42}+p_{14}p_{23}=0}$

definiendo Q, de forma que

${\displaystyle p_{ij}=u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i}}$

son las coordenadas de la recta abarcada por los dos vectores u y v.

El 3-espacio, S, se puede reconstruir de nuevo a partir de la cuádrica Q: los planos contenidos en Q quedan en dos clases de equivalencia, donde los planos de la misma clase se encuentran en un punto, y planos de diferentes clases se encuentran en una línea o en el conjunto vacío. Sean estas clases ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle C'}$. La geometría de S se recupera de la siguiente manera:

1. Los puntos de S son los planos de C.
2. Las rectas de S son los puntos de Q.
3. Los planos de S son los planos de C’.

El hecho de que las geometrías de S y Q sean isomorfas puede explicarse por el isomorfismo de los diagramas de Dynkin A₃ y D₃.

En el espacio proyectivo de 5 dimensiones, la cuádrica de Klein tiene la siguiente ecuación en coordenadas homogéneas:

${\displaystyle x_{0}x_{5}-x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}=0}$

• Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projective Geometry : from foundations to applications, page 169, Cambridge University Press ISBN 978-0521482776
• Arthur Cayley (1873) "On the superlines of a quadric surface in five-dimensional space", Collected Mathematical Papers 9: 79–83.
• Felix Klein (1870) "Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades", Mathematische Annalen 2: 198
• Oswald Veblen & John Wesley Young (1910) Projective Geometry, volume 1, Interpretation of line coordinates as point coordinates in S₅, page 331, Ginn and Company.
• Ward, Richard Samuel; Wells, Raymond O'Neil, Jr. (1991), Twistor Geometry and Field Theory, Cambridge University Press, Bibcode:1991tgft.book.....W, ISBN 978-0-521-42268-0 ...