En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas variables reales corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente de la función.
Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el número de variables dependientes de la función. Por ejemplo, si
una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:
![{\displaystyle dz={\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\in \Lambda ^{1}(\mathbb {R} ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247fd61718ca991fb8c0989e6d2025655e7a720e)
Representación
En cálculo vectorial, la diferencial total de una función
se puede representar de la siguiente manera:
![{\displaystyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1b6f1f9cebb76c6e90ae3231ad6b09db21e755)
donde f es una función
.
Derivada total
La derivada total viene de derivar una función
que tiene variables
que dependen de otras variables
. En ese caso, se puede derivar la función respecto a t, y se obtiene que:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot x'+{\frac {\partial f}{\partial y}}\cdot y'+{\frac {\partial f}{\partial z}}\cdot z'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5b8f3e8bdf757c7f1ec0106a660f33839aecd0)
donde x' es la derivada respecto a t de x,
al igual que y', z'.
Se vuelve necesaria distinguir la notación de derivada total de la parcial cuando se deriva una función del tipo
que es fundamental para el cálculo de variaciones, donde aquí la variable x depende del tiempo
Entonces derivar respecto al tiempo queda
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot x'+{\frac {\partial f}{\partial x'}}\cdot x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/017eb101a78b3bb2f175702e000071158b11e856)
Ejemplo
Una función sencilla:
![{\displaystyle y=x^{2}+3x+5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28a574ebe8f161fc5ed4fa667998fce294c7b332)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=2x+3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da20c36c6d22c117cd608af6c09fb551adf1da2)
![{\displaystyle \mathrm {d} y=(2x+3)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3d0686315fe1744f95b3d84339ed35d69ac1d0)
Ejemplo 2
Un ejemplo más complejo e ilustrativo:
![{\displaystyle z=f(x,y)=x^{3}+\sin(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96e17483389fc06d7b8e59e0739f0ad7428d7a55)
![{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f3b0f096cd7e05aedb735515389a689b66e4e1)
![{\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}=\cos(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448253235303cf9d72bde95ca511d54a149350c8)
![{\displaystyle \mathrm {d} z={\frac {\partial z}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial z}{\partial y}}\mathrm {d} y=3x^{2}\mathrm {d} x+\cos(y)\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a96b3077ec4b5ebf6bdd0d93e03387094d07ae3)
Ecuaciones en diferenciales totales
Dadas
dos funciones con
y
continuas en algún subconjunto de A ∩ B, si se supone a este último no vacío.
La ecuación se llama ecuación en diferenciales totales.[1] |
Puede demostrarse que el primer miembro de esta ecuación es una diferencial total si y solo si
Estas ecuaciones también se llaman ecuación diferencial exacta.
Véase también
Referencias
- ↑ Piskunov, N. (1984). Cálculo diferencial e integral (3.ª edición). Buenos Aires: Suramericana. p. 29.
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(ayuda)
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Total Derivative». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
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Datos: Q15303791 |
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Datos: Q15303791