Espacio localmente conexo

En matemáticas, más precisamente en topología, un espacio topológico ${\displaystyle X}$ se dice localmente conexo si para todo ${\displaystyle x\in X}$ y todo ${\displaystyle U}$ entorno de ${\displaystyle x}$, existe ${\displaystyle V\subseteq U}$ entorno abierto de ${\displaystyle x}$ conexo.

Similarmente, ${\displaystyle X}$ se dice localmente arco-conexo si para todo ${\displaystyle x\in X}$ y todo ${\displaystyle U}$ entorno de ${\displaystyle x}$, existe ${\displaystyle V\subseteq U}$ entorno abierto de ${\displaystyle x}$ arcoconexo.

Dado un espacio topológico ${\displaystyle X}$, y un punto ${\displaystyle x\in X}$, si para todo ${\displaystyle U}$ entorno de ${\displaystyle x}$ existe un entorno ${\displaystyle V\subseteq U}$ de ${\displaystyle x}$ (arco)conexo (sin pedir que ${\displaystyle V}$ sea abierto), decimos que ${\displaystyle X}$ es débilmente localmente (arco)conexo en ${\displaystyle x}$.

1. El subespacio ${\displaystyle [0,1]\cup [2,3]}$ de la recta real ${\displaystyle R}$ es localmente arcoconexo, pero no conexo.

2. El peine del topólogo es arco-conexo pero no localmente arco-conexo.

3. El subespacio ${\displaystyle Q}$ de números racionales con la topología de subespacio de ${\displaystyle R}$ no es conexo ni localmente conexo.