En geometría, la fórmula de Bretschneider es una expresión que permite calcular el área de un cuadrilátero general:
Aquí, a, b, c, d son los lados del cuadrilatero, s es el semiperímetro, y α y γ son dos ángulos opuestos.
Se cumple en cualquier cuadrilátero, ya sea cíclico o no.
El matemático alemán Carl Anton Bretschneider descubrió la fórmula en 1842. También fue deducida ese mismo año por el matemático alemán Karl Georg Christian von Staudt.
Demostración
Si se denomina K al área del cuadrilatero, entonces se tiene que
Por lo tanto
La ley del coseno implica que
porque ambos lados equivalen al cuadrado de la longitud de la diagonal BD, lo que se puede reescribir como
Añadiendo esto a la fórmula superior por 4K2, resulta
Nótese que (una identidad trigonométrica cierta para todo )
El ajuste trigonométrico en la fórmula de Bretschneider para la no ciclicidad del cuadrilátero se puede reescribir de forma no trigonométrica en términos de los lados y las diagonales e y f para dar[1][2]
Referencias
↑J. L. Coolidge, "A historically interesting formula for the area of a quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) 345–347. (JSTOR)
↑E. W. Hobson: A Treatise on Plane Trigonometry. Cambridge University Press, 1918, pp. 204-205
Lecturas relacionadas
Ayoub B. Ayoub: Generalizations of Ptolemy and Brahmagupta Theorems. Mathematics and Computer Education, Volume 41, Number 1, 2007, ISSN 0730-8639
E. W. Hobson: A Treatise on Plane Trigonometry. Cambridge University Press, 1918, pp. 204–205 (online copy)
C. A. Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 (online copy, German)
F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 (online copy, German)
Enlaces externos
Weisstein, Eric W. «Bretschneider's formula». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld(en inglés). Wolfram Research.