Factorización de rango

Dada una matriz ${\displaystyle A}$, de dimensiones ${\displaystyle m\times n}$ y de rango ${\displaystyle r}$, una factorización de rango de ${\displaystyle A}$ es un factorización de la forma ${\displaystyle A=CF}$, donde ${\displaystyle C}$ es una matriz ${\displaystyle m\times r}$ y ${\displaystyle F}$ es una matriz ${\displaystyle r\times n}$.

Para construir una factorización de este tipo se puede calcular ${\displaystyle B}$, la forma escalonada reducida de ${\displaystyle A}$. Entonces ${\displaystyle C}$ se obtiene eliminando de ${\displaystyle A}$ todas las columnas que no son columnas pivote, y ${\displaystyle F}$ eliminando todas las filas de ceros de ${\displaystyle B}$.

metal

Sea ${\displaystyle P}$ una matriz ${\displaystyle n\times n}$ de permutación tal que ${\displaystyle AP=(C,D)}$ en forma de bloques, donde las columnas de ${\displaystyle C}$ son las ${\displaystyle r}$ columnas pivote de ${\displaystyle A}$. Cada columna de ${\displaystyle D}$ es una combinación lineal de las columnas de ${\displaystyle C}$, luego hay una matriz ${\displaystyle G}$ tal que ${\displaystyle D=CG}$, donde las columnas de ${\displaystyle G}$ contienen los coeficientes de cada una de esas combinaciones lineales. Así pues, ${\displaystyle AP=(C,CG)=C(I_{r},G)}$, siendo ${\displaystyle I_{r}}$ la matriz identidad ${\displaystyle r\times r}$. Mostraremos a continuación que ${\displaystyle (I_{r},G)=FP}$.

Transformar ${\displaystyle AP}$ en su forma escalonada reducida equivale a multiplicar por la izquierda por una matriz ${\displaystyle E}$ que es un producto de matrices elementales, con lo que ${\displaystyle EAP=BP=EC(I_{r},G)}$, donde ${\displaystyle EC={\begin{pmatrix}I_{r}\\0\end{pmatrix}}}$. Podemos entonces escribir ${\displaystyle BP={\begin{pmatrix}I_{r}&G\\0&0\end{pmatrix}}}$, lo que nos permite identificar ${\displaystyle (I_{r},G)=FP}$, es decir, las ${\displaystyle r}$ filas no nulas de la forma escalonada reducida, con la misma permutación de columnas que aplicamos a la matriz ${\displaystyle A}$. Tenemos, por tanto, que ${\displaystyle AP=CFP}$, y como ${\displaystyle P}$ es invertible, esto implica que ${\displaystyle A=CF}$, lo que completa la prueba.

• Lay, David C. (2005), Linear Algebra and its Applications (3rd edición), Addison Wesley, ISBN 978-0201709704 .
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3rd edición), The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0801854149 .
• Stewart, Gilbert W. (1998), Matrix Algorithms. I. Basic Decompositions, SIAM, ISBN 978-0-898714-14-2 .