Identidad de Beltrami

La identidad de Beltrami, que lleva el nombre del matemático italiano Eugenio Beltrami (1835-1900), es un caso especial de las ecuaciones de Euler-Lagrange en el cálculo de variaciones.

La ecuación de Euler-Lagrange sirve para obtener un valor extremo de un funcional con la forma

${\displaystyle I[u]=\int _{a}^{b}L[x,u(x),u'(x)]\,dx\,,}$

donde ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son constantes y ${\displaystyle u'(x)={\frac {du}{dx}}}$.^[1]​

Si ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$, entonces la ecuación de Euler-Lagrange se reduce a la identidad de Beltrami,

${\displaystyle L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}=C\,,}$

donde C es una constante.^[2]​^{[nota 1]}​

Por la regla de la cadena, la derivada de L es

${\displaystyle {\frac {dL}{dx}}={\frac {\partial L}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial L}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial L}{\partial u'}}{\frac {du'}{dx}}\,.}$

Dado que ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$, se puede escribir que

${\displaystyle {\frac {dL}{dx}}={\frac {\partial L}{\partial u}}u'+{\frac {\partial L}{\partial u'}}u''\,.}$

Se tiene una expresión para ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial u}}}$ de la ecuación de Euler-Lagrange,

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial u}}={\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}\,}$

que se puede sustituir en la expresión anterior por ${\displaystyle {\frac {dL}{dx}}}$ para obtener

${\displaystyle {\frac {dL}{dx}}=u'{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial u'}}+u''{\frac {\partial L}{\partial u'}}\,.}$

Según la regla del producto, el lado derecho equivale a

${\displaystyle {\frac {dL}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}\right)\,.}$

Al realizar la integración en ambos lados y poner ambos términos en un lado, se obtiene la identidad de Beltrami,

${\displaystyle L-u'{\frac {\partial L}{\partial u'}}=C\,.}$

Un ejemplo de aplicación de la identidad de Beltrami es la curva braquistócrona, que implica encontrar la curva ${\displaystyle y=y(x)}$ que minimice la integral

${\displaystyle I[y]=\int _{0}^{a}{\sqrt {{1+y'^{\,2}} \over y}}dx\,.}$

El integrando

${\displaystyle L(y,y')={\sqrt {{1+y'^{\,2}} \over y}}}$

no depende explícitamente de la variable de integración ${\displaystyle x}$, por lo que se aplica la identidad de Beltrami,

${\displaystyle L-y'{\frac {\partial L}{\partial y'}}=C\,.}$

Sustituyendo por ${\displaystyle L}$ y simplificando,

${\displaystyle y(1+y'^{\,2})=1/C^{2}~~{\text{(constante)}}\,,}$

que se puede resolver con el resultado expresado en forma de ecuación paramétrica

${\displaystyle x=A(\phi -\sin \phi )}$

${\displaystyle y=A(1-\cos \phi )}$

siendo ${\displaystyle A}$ la mitad de la constante anterior, ${\displaystyle {\frac {1}{2C^{2}}}}$ y ${\displaystyle \phi }$ una variable. Estas son las ecuaciones paramétricas de una cicloide.^[3]​

Considérese una cuerda con densidad uniforme ${\displaystyle \mu }$ de longitud ${\displaystyle l}$ suspendida de dos puntos de igual altura y a una distancia ${\displaystyle D}$. Por la fórmula para la longitud de arco,

${\displaystyle l=\int _{S}dS=\int _{s_{1}}^{s_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx,}$

donde ${\displaystyle S}$ es el arco de la cadena y ${\displaystyle s_{1}}$ y ${\displaystyle s_{2}}$ son las condiciones de contorno.

La curva tiene que minimizar su energía potencial:

${\displaystyle U=\int _{S}g\mu y\cdot dS=\int _{s_{1}}^{s_{2}}g\mu y{\sqrt {1+y'^{2}}}dx,}$

y está sujeta a la restricción

${\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx=l,}$

donde ${\displaystyle g}$ es la fuerza de gravedad.

Debido a que la variable independiente ${\displaystyle x}$ no aparece en el integrando, la identidad de Beltrami se puede usar para expresar la forma de la cadena como una ecuación diferencial de primer orden separable

${\displaystyle L-y\prime {\frac {\partial L}{\partial y\prime }}=\mu gy{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}+\lambda {\sqrt {1+y\prime ^{2}}}-\left[\mu gy{\frac {y\prime ^{2}}{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}}+\lambda {\frac {y\prime ^{2}}{\sqrt {1+y\prime ^{2}}}}\right]=C,}$

donde ${\displaystyle \lambda }$ es un multiplicador de Lagrange.

Es posible simplificar la ecuación diferencial de la forma siguiente:

${\displaystyle {\frac {g\rho y-\lambda }{\sqrt {1+y'^{2}}}}=C.}$

Al resolver esta ecuación se obtiene el coseno hiperbólico, donde ${\displaystyle C_{0}}$ es una segunda constante obtenida de la integración

${\displaystyle y={\frac {C}{\mu g}}\cosh \left[{\frac {\mu g}{C}}(x+C_{0})\right]-{\frac {\lambda }{\mu g}}.}$

Las tres incógnitas ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle C_{0}}$ y ${\displaystyle \lambda }$ se pueden resolver utilizando las restricciones para los puntos finales de la cadena y la longitud del arco ${\displaystyle l}$, aunque a menudo es muy difícil obtener una solución de forma cerrada.

1. ↑ Así, la transformada de Legendre de la lagrangiana, la hamiltoniana, es constante a lo largo del camino dinámico.