En la teoría de las probabilidades, medida e integración, el lema de Borel-Cantelli asegura la finitud en casi todos los puntos de la suma de funciones integrables positivas si es que la suma de sus integrales es finita.[1][2][3][4][5]
Definición en probabilidad y demostración
1º Lema de Borel-Cantelli
Sea
una sucesión de eventos tal que
entonces
.
Demostración:
Tenemos que
. Ya que
implica que
.
2º Lema de Borel-Cantelli
Sea
una sucesión de eventos tal que
y
son independientes, entonces
.
Demostración:
Tenemos que
, donde la última igualdad resulta de la independencia.
Basta ahora probar que
.
Recordemos la desigualdad
.
Por tanto,
.
Definición formal y demostración
Sea
una sucesión de funciones positivas medibles desde el espacio de medida
en los reales.
es la medida. Sea
la integral de f respecto de
. Supongamos que:
![{\displaystyle \sum _{n}\mu f_{n}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81a7f04f6accb601715b5e000606c8e7d89d24b)
entonces por convergencia monótona
. Por ende la función
es finita c.t.p.-
.
Si la sucesión de funciones son indicatrices de conjuntos
en
, o sea
y la medida
es de probabilidad entonces:
implica que
c.t.p.-
, es decir, en
, el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos
tiene probabilidad cero.
Resultado inverso
Un resultado relacionado, a veces llamado segundo lema de Borel-Cantelli, es casi lo inverso del primer lema. Para una medida
de probabilidad, dice así: dada una sucesión de conjuntos o sucesos independientes
en
, entonces
implica que
c.t.p.-
, es decir, en
, el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos
tiene probabilidad uno.
Bibliografía
- David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).
Referencias
- ↑ «Borel-Cantelli Lemmas» (en inglés). Consultado el 29 de mayo de 2019.
- ↑ «The Borel-Cantelli Lemmas» (en inglés). Archivado desde el original el 29 de agosto de 2017. Consultado el 29 de mayo de 2019.
- ↑ «The Borel-Cantelli Lemma and its Applications» (en inglés). Consultado el 29 de mayo de 2019.
- ↑ «Lema de Borel-Cantelli». Consultado el 29 de mayo de 2019.
- ↑ Rincón, Luis (2007). «Curso intermedio de Probabilidad» (en esqañol). UNAM. Consultado el 29 de mayo de 2019.
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