Primera conjetura de Hardy-Littlewood
Primera conjetura de Hardy–Littlewood | ||
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![]() Gráfica que muestra la cantidad de números primos gemelos menores que un n dado. La primera conjetura de Hardy–Littlewood predice que hay una infinidad de ellos. | ||
Campo | Teoría de números | |
Conjeturado por | G. H. Hardy John Edensor Littlewood | |
Conjeturado en | 1923 | |
Problema abierto | Sí | |
[editar datos en Wikidata] |
En teoría de números, la primera conjetura de Hardy–Littlewood[1] muestra una fórmula asintótica para estimar el número de k-tuplas de primos menores que una magnitud dada mediante la generalización del teorema de los números primos. Fue propuesta por primera vez por G. H. Hardy y John Edensor Littlewood en 1923.[2]
Enunciado
Sean números enteros positivos pares tales que los números de la sucesión no forman una clase de residuos completa con respecto a cualquier primo y sea el número de primos menores que siendo todos números primos. Entonces[1][3]
donde
es un producto sobre los números primos impares y denota el número de residuos distintos de módulo .
El caso y es relacionado con la conjetura de los primos gemelos. Específicamente si denota el número de primos gemelos menores que n, entonces
donde
es la constante de los primos gemelos.[3]
Número de Skewes
Los números de Skewes para k-tuplas de primos son una extensión de la definición de número de Skewes para k-tuplas de primos basadas en la primera conjetura de Hardy–Littlewood. El primer primo p que viola la desigualdad de Hardy–Littlewood para la k-tupla P, i.e., tal que
(si tal primo existe) es el número de Skewes para P.[3]
Consecuencias
La conjetura se ha mostrado inconsistente con la segunda conjetura de Hardy–Littlewood.[4]
Generalizaciones
La Conjetura de Bateman-Horn generaliza la primera conjetura de Hardy–Littlewood a polinomios de grado mayor que 1.[1]
Referencias
- ↑ a b c Aletheia-Zomlefer, Fukshansky y Garcia, 2020.
- ↑ Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1923). «Some Problems of 'Partitio Numerorum.' III. On the Expression of a Number as a Sum of Primes.». Acta Math. 44 (44): 1-70. doi:10.1007/BF02403921. .
- ↑ a b c Tóth, 2019.
- ↑ Richards, Ian (1974). «On the Incompatibility of Two Conjectures Concerning Primes». Bull. Amer. Math. Soc. 80: 419-438. doi:10.1090/S0002-9904-1974-13434-8.
Bibliografía
- Aletheia-Zomlefer, Soren Laing; Fukshansky, Lenny; Garcia, Stephan Ramon (2020). «The Bateman–Horn conjecture: Heuristic, history, and applications». Expositiones Mathematicae 38 (4): 430-479. ISSN 0723-0869. doi:10.1016/j.exmath.2019.04.005.
- Tóth, László (January 2019). «On the Asymptotic Density of Prime k-tuples and a Conjecture of Hardy and Littlewood». Computational Methods in Science and Technology 25: 143-138. arXiv:1910.02636. doi:10.12921/cmst.2019.0000033.
Datos: Q78470924