Residuo (análisis complejo)

Se denomina residuo de una función analítica ${\displaystyle f(z)}$ en una singularidad aislada ${\displaystyle z=z_{0}}$ al número

donde ${\displaystyle C}$ representa una circunferencia centrada en ${\displaystyle z_{0}}$, en cuyo interior no hay puntos singulares de la función, salvo ${\displaystyle z_{0}}$.

Si ${\displaystyle f(z)}$ tiene una singularidad evitable en ${\displaystyle z_{0}}$, el residuo es ${\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),z_{0})=0}$. Si ${\displaystyle f(z)}$ tiene un polo de orden ${\displaystyle N}$ en ${\displaystyle z_{0}}$, entonces el residuo se puede calcular como:

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}\,\,{\frac {1}{(N-1)!}}{\frac {d^{N-1}}{dz^{N-1}}}[(z-z_{0})^{N}f(z)]}$

En particular, si ${\displaystyle N=1}$ (polo simple),

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}\,\,(z-z_{0})f(z)}$

Si el punto ${\displaystyle z_{0}}$ es una singularidad esencial, el residuo se calcula desarrollando la función en serie de Laurent en torno a ${\displaystyle z_{0}}$. El residuo es el coeficiente correspondiente a la potencia de exponente ${\displaystyle -1}$.

• Fórmula integral de Cauchy
• Teorema integral de Cauchy

• Weisstein, Eric W. «Complex Residue». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.