Tensor de Killing-Yano
En geometría de Riemann, un tensor de Killing-Yano es una generalización del concepto de vector de Killing a un tensor de dimensión superior. El concepto fue introducido en 1952 por Kentaro Yano.[1] Se dice que un tensor antisimétrico de orden p es de Killing-Yano cuando satisface la ecuación
- .
Esta ecuación se diferencia de la generalización habitual del concepto de vector de Killing a tensores de orden superior, llamados tensores de Killing, en que la derivada covariante D está simetrizada con un único índice del tensor y no con todos, como es el caso de los tensores de Killing.
Tensores de Killing-Yano triviales
Todo vector de Killing es un tensor de Killing de orden 1 y también es un tensor de Killing-Yano.
El tensor completamente antisimétrico (conocido como tensor de Levi-Civita) (donde n es la dimensión de la variedad) es un tensor de Killing-Yano, siendo su derivada covariante siempre cero (véase nulidad de la derivada covariante del tensor dualizador).
Construcción de tensores de Killing a partir de tensores de Killing-Yano
Hay varias formas de construir tensores de Killing (simétricos) a partir de tensores de Killing-Yano.
En primer lugar, se pueden obtener dos tensores de Killing triviales a partir de los tensores de Killing-Yano:
- A partir de un tensor de Killing-Yano de orden 1 , se puede construir un tensor de Killing de orden 2 según
- .
- A partir del tensor completamente antisimétrico , se puede construir el tensor de Killing trivial
- .
Más interesante aún, a partir de dos tensores de Killing-Yano de orden 2 y , se puede construir el tensor de Killing de orden 2 según
- .
A partir de un tensor de Killing-Yano de orden n-1, , se puede construir el vector asociado en el sentido de Hodge (véase dual de Hodge),
- .
Debido a que el tensor es de Killing-Yano, el vector A no es de Killing-Yano, pero obedece a la ecuación
- .
Esta propiedad permite construir un tensor de Killing a partir de dos de estos vectores, definido por:
- .
Cualquier combinación lineal de tensores de Killing-Yano también es un tensor de Killing-Yano.
Propiedades
Una buena parte de las propiedades del espacio-tiempo de cuatro dimensiones involucran los tensores de Killing-Yano, según demostraron H. Stephani y C. D. Collinson en la década de 1970.[2][3][4]
- Si un espacio-tiempo admite un tensor de Killing-Yano no degenerado, entonces esto se puede escribir en la forma
- ,
- donde k, l, m y forman una tétrada y las funciones X e Y obedecen a un cierto número de ecuaciones diferenciales. Además, el tensor de Killing-Yano obedece a la siguiente relación con el tensor de Ricci:[3][4]
- .
- Las soluciones de las ecuaciones del campo de Einstein en el vacío y tipo D en la clasificación de Petrov admiten un tensor de Killing y un tensor de Killing-Yano, ambos de orden 2 y unidos por la fórmula dada anteriormente.[3][4]
- Si un espacio-tiempo admite un tensor de Killing-Yano degenerado de orden 2 , entonces esto se escribe en la forma
- ,
- k es un vector de Killing de género lumínico. El tensor de Weyl es en este caso del tipo N en la clasificación de Petrov, y k es su vector propio no trivial. Además, a tiene la relación dada anteriormente con el tensor de Riemann.[2][4]
- Si un espacio-tiempo admite un tensor de Killing-Yano de orden 3, entonces o el vector asociado por la dualidad de Hodge es un vector de género lumínico constante, o el espacio es un plano conforme.[2][4]
Véase también
- Vector de Killing
- Tensor de Killing
Referencias
- ↑ Kentaro Yano, Annals of Mathematics, 55, 328 (1952).
- ↑ a b c C. D. Collinson, The existence of Killing tensors in empty spacetimes, Tensors, 28, 173 (1974).
- ↑ a b c C. D. Collinson, On the relationship between Killing tensors and Killing-Yano tensors, International Journal of Theoretical Physics, 15, 311 (1976).
- ↑ a b c d e H. Stephani, A note on Killing tensors, General Relativity and Gravitation, 9, 789 (1978).
Bibliografía
- D. Kramer, Hans Stephani, Malcolm Mac Callum et E. Herlt, Exact solutions of Einstein’s field equations, Cambridge, Cambridge University Press, 1980, 428 p. (ISBN 0521230411), páginas de 349 a 352.
Datos: Q3518151