Funtzio hiperboliko

Matematikan, funtzio hiperbolikoak ohiko funtzio trigonometrikoen funtzio analogoak dira, baina zirkulu bat hartu beharrean erreferentziatzat, ${\displaystyle \scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}$ hiperbola hartuta. Matematikako eta fisikako adar batzuetan garrantzia dute^[1].

Funtzio hiperbolikoak hauek dira:

• Sinu hiperbolikoa:

${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}}$.

• Kosinu hiperbolikoa:

${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}}$.

• Tangente hiperbolikoa:

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}}$.

• Kotangente hiperbolikoa:

${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}}}$

• Sekante hiperbolikoa:

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}}$

• Kosekante hiperbolikoa:

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}}}$

Funtzio hiperbolikoak angelu irudikarien bidez ere defini daitezke:

• Sinu hiperbolikoa:

${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)}$

• Kosinu hiperbolikoa:

${\displaystyle \cosh x=\cos(ix)}$

• Tangente hiperbolikoa:

${\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)}$

• Kotangente Hiperbolikoa:

${\displaystyle \coth x=i\cot(ix)}$

• Sekante hiperbolikoa:

${\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)}$

• Kosekante hiperbolikoa:

${\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)}$

non i unitate irudikari baita, propietate honekin: i² = −1.

Goiko definizioetako forma konplexuak Eulerren formulatik datoz.

• Datuak: Q204034
• Multimedia: Hyperbolic functions / Q204034