Binetin–Cauchyn identiteetti

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Binetin–Cauchyn identiteetti, joka on nimetty Jacques Philippe Marie Binetin ja Augustin-Louis Cauchyn mukaan, on yhtälö algebrassa.

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}{\biggr )}={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}{\biggr )}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}$

jossa a_i, b_i, c_i ja d_i, kaikilla i:n arvoilla, ovat reaalilukuja. Sama yhtälö pätee kompleksiluvuilla ja yleisemmin kaikissa kommutatiivisissa renkaissa.

Laskemalla auki yhtälön viimeisen termin binomitulo, saamme

${\displaystyle \sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}$

${\displaystyle =\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}}$

jossa toinen ja neljäs termi ovat toistensa vastaluvut, jotka on lisätty yhtälöön, jotta se pystytään saattamaan seuraavaan muotoon:

${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}.}$

Tästä i:llä indeksoidut termit osittelemalla saadaan alkuperäisen yhtälön ensimmäiset kaksi termiä, joka päättää todistuksen.

Kun n = 3, ensimmäinen ja toinen termi vastaavat pistetulojen tuloja, kun taas kolmas termi vastaa ristitulojen pistetuloa. Tämä voidaan merkitä

${\displaystyle (a\cdot c)(b\cdot d)=(a\cdot d)(b\cdot c)+(a\times b)\cdot (c\times d)\,}$