Dedekindin zeetafunktio

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Matematiikassa algebrallisen lukukunnan Dedekindin zeetafunktio ζ_K(s) on yleistys Riemannin zeeta-funktiosta, joka on erikoistapaus jolloin K on rationaalilukujen joukko Q. Dedekindin zeetafunktiolla on paljon yhteistä Riemannin zeetafunktion kanssa: se määritellään Dirichlet'n sarjana, se voidaan kirjoittaa Eulerin tulona, sillä on funktionaaliyhtälö, se voidaan jatkaa analyyttisesti meromorfiseksi funktioksi kompleksitasoon C yksinkertaisella navalla arvolla s = 1. Se antaa aritmeettista informaatiota kunnasta K. Laajennettu Riemannin hypoteesi sanoo että jos ζ_K(s) = 0 ja 0 < Re(s) < 1, niin Re(s) = 1/2.

Zeetafunktio on nimetty Richard Dedekindin mukaan.

Olkoon K algebrallinen lukukunta. Tällöin sen Dedekindin zeetafunktio kompleksiluvuille s niin että Re(s) > 1 määritellään Dirichlet'n sarjana

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=\sum _{\mathfrak {a}}{{\mathfrak {N}}({\mathfrak {a}})}^{-s}}$

missä ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ kulkee kaikkien kunnan ${\displaystyle K}$ kokonaislukuideaalien läpi ja ${\displaystyle {\mathfrak {N}}({\mathfrak {a}})}$ on niiden absoluuttinormi. Se voidaan kirjoittaa Eulerin tulona

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-{{\mathfrak {N}}({\mathfrak {p}})}^{-s}}}}$

missä ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ kulkee kaikkien kunnan ${\displaystyle K}$ alkuideaalien yli.

Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Dedekind zeta function