Eksakti differentiaali tarkoittaa yleistä differentiaalimuotoa
, jolle löytyy jokin funktio f siten että:
.
Toisin sanoen
on siis eksakti, mikäli ja vain mikäli
.
Differentiaali
on aina eksakti. [1]
Tämä on seurausta, koska differentiaalille df on voimassa
![{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1143da61310cc645f6ff5cbe6650df48e61f9f)
on
ja
.
Koska
, on oltava
.
Tämä on sekä välttämätön että riittävä ehto eksaktille differentiaalille. Tämän voi osoittaa määrittelemällä mahdollinen funktio f integraalina ja sitten todistamalla, että sen määritelmä on yksiselitteinen.
Eksaktit differentiaalit ja differentiaaliyhtälöt
voidaan kirjoittaa muodossa
. Jos
on eksakti, eli on funktio f, jolle
, on tällöin
ja ratkaisu siten
, missä
on vakio.
Integrointitekijät
Funktiota
kutsutaan integrointitekijäksi, mikäli se tekee epäeksaktista differentiaalimuodosta
eksaktin, eli
![{\displaystyle \mu (x,y)P(x,y)dx+\mu (x,y)Q(x,y)dy\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c9cf52ef7368c5936ef554d19ab2d56e40c65a)
on eksakti. Tällöin on oltava
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu P\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mu Q\right)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43549b5ed891cbdd970277c7de2e54cb4b165a0)
josta
![{\displaystyle \mu \left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)+P{\frac {\partial \mu }{\partial y}}-Q{\frac {\partial \mu }{\partial x}}=0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7151808b62beab99b045e96775b8b21fef77dbba)
Tämä on yleensä erittäin vaikea ratkaista. Erikoistapauksessa
saamme
![{\displaystyle {\frac {1}{\mu }}{\frac {d\mu }{dx}}=\left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right){\frac {1}{Q}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9ca25c21c988422d1836ee81f59cc6c29e3b97)
joka on koherentti, mikäli oikea puoli on pelkästään x:n funktio. Samoin integrointitekijälle
![{\displaystyle {\frac {1}{\mu }}{\frac {d\mu }{dy}}=-\left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right){\frac {1}{P}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66a37271716f824ed80ddf47c2fb5d316ffce086)
jos oikea puoli on vain y:n funktio.
Katso myös
Lähteet
- ↑ Weisstein, Eric W.: "Exact Differential" From MathWorld – A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 8.7.2019.
Kirjallisuutta
- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).