Eksakti differentiaali

Eksakti differentiaali tarkoittaa yleistä differentiaalimuotoa ${\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!}$, jolle löytyy jokin funktio f siten että:

${\displaystyle df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!}$.

Toisin sanoen ${\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!}$ on siis eksakti, mikäli ja vain mikäli ${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}}$.

Differentiaali ${\displaystyle dg=L(x)dx\,\!}$ on aina eksakti. ^[1]

Tämä on seurausta, koska differentiaalille df on voimassa

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy}$

on ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=P(x,y)}$ ja ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=Q(x,y)\,\!}$.

Koska ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)}$, on oltava ${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}}$.

Tämä on sekä välttämätön että riittävä ehto eksaktille differentiaalille. Tämän voi osoittaa määrittelemällä mahdollinen funktio f integraalina ja sitten todistamalla, että sen määritelmä on yksiselitteinen.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {P(x,y)}{Q(x,y)}}}$ voidaan kirjoittaa muodossa ${\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\,\!}$. Jos ${\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!}$ on eksakti, eli on funktio f, jolle ${\displaystyle df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!}$, on tällöin ${\displaystyle df=0\,\!}$ ja ratkaisu siten ${\displaystyle f(x,y)=\lambda \,\!}$, missä ${\displaystyle \lambda \,\!}$ on vakio.

Funktiota ${\displaystyle \mu (x,y)\,\!}$ kutsutaan integrointitekijäksi, mikäli se tekee epäeksaktista differentiaalimuodosta ${\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!}$ eksaktin, eli

${\displaystyle \mu (x,y)P(x,y)dx+\mu (x,y)Q(x,y)dy\,\!}$

on eksakti. Tällöin on oltava

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu P\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mu Q\right)\,\!}$

josta

${\displaystyle \mu \left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)+P{\frac {\partial \mu }{\partial y}}-Q{\frac {\partial \mu }{\partial x}}=0\,\!}$

Tämä on yleensä erittäin vaikea ratkaista. Erikoistapauksessa ${\displaystyle \mu \equiv \mu (x)\,\!}$ saamme

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}{\frac {d\mu }{dx}}=\left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right){\frac {1}{Q}}\,\!}$

joka on koherentti, mikäli oikea puoli on pelkästään x:n funktio. Samoin integrointitekijälle ${\displaystyle \mu (y)\,\!}$

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}{\frac {d\mu }{dy}}=-\left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right){\frac {1}{P}}\,\!}$

jos oikea puoli on vain y:n funktio.

• Maxwellin relaatiot

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).