Gradientti on matemaattinen differentiaalioperaattori, joka on määritelty usean muuttujan skalaarifunktioille . Gradientti ilmaisee funktion suurimman muutosnopeuden (gradienttivektorin pituus) ja tämän suurimman muutoksen suunnan. Funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.[1]
Karteesisessa koordinaatistossa gradientti on vektori, jonka komponentteina ovat funktion osittaisderivaatat. Esimerkiksi kolmen muuttujan funktion gradientti merkitään tai symbolin nabla avulla ja määritellään
,
missä ja -komponenttien kertoimet ovat funktion osittaisderivaattoja muuttujien ja suhteen. Yleisen muuttujan funktion gradientti määritellään
,
missä on funktion muuttujien muodostama vektori
.
Gradienttia voidaan pitää derivaatan yleistyksenä usean muuttujan funktioille. Gradientti on erikoistapaus Jacobin matriisista, joka on määritelty monen muuttujan vektoriarvoisille funktioille .
Sisällys
1Määritelmiä ja laskusääntöjä
1.1Differentiaali
1.2Suunnattu derivaatta
1.3Ketjusääntö
2Gradientti käyräviivaisissa koordinaatistoissa
3Katso myös
4Lähteet
5Kirjallisuutta
6Aiheesta muualla
Määritelmiä ja laskusääntöjä
Differentiaali
Yhden muuttujan tapauksessa funktion differentiaali määriteltiin
,
ja yleisesti funktion differentiaali määritellään gradientin avulla
,
missä piste kuvaa kahden vektorin pistetuloa.
Suunnattu derivaatta
Gradientin avulla voidaan määrittää helposti myös suunnattu derivaatta: Funktion suunnattu derivaatta vektorin suuntaan on
,
missä on :n suuntainen yksikkövektori (vektori, jonka pituus on yksi). Pistetulo on suurin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa gradientin suuntaan ja pienin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa negatiivisen gradientin suuntaan.[2]
Ketjusääntö
Mikäli funktion muuttujat riippuvat esimerkiksi parametrista t, eli
,
saadaan funktion derivaatta parametrin suhteen gradientin avulla lausekkeesta