Ortokolmio

Punaisten korkeusjanojen kantapisteet a, b ja c muodostavat tummansinisen ortokolmion. Ortokolmion sisään voidaan piirtää sen kaikkia sivuja sivuava ympyrä, jonka keskipiste sijaitsee kolmion ortokeskuksessa.

Ortokolmioksi kutsutaan geometriassa sellaista kolmiota, joka saadaan yhdistämällä referenssikolmion korkeusjanojen kantapisteet janoilla toisiinsa. Kolmion sivun kantapiste on se kohta, johon vastaisesta kulmasta vedetty korkeusjana, tai korkeusjanan jatke, osuu.[1]

Ortokolmio, joka syntyy kolmion sivuilla olevista pisteistä, luokitellaan sisäkolmioksi. Tällainen ortokolmio on siten eräs kolmion sisäkolmio. Korkeusjanan kantapiste voi jäädä myös kolmion sivun jatkeelle eli kolmion ulkopuolelle, jolloin ortokolmio ei ole enää sisäkolmio. Kaikista sisäkolmioista ortokolmiolla on pienin piiri.[2]

Ominaisuuksia

Jos teräväkulmaisen referenssikolmion △ A B C {\displaystyle \scriptstyle \triangle ABC} sivujen pituudet ovat a ,   b   j a   c {\displaystyle a,\ b\ ja\ c} ja sivujen vastaiset kulmat α ,   β   j a   γ {\displaystyle \alpha ,\ \beta \ ja\ \gamma } , ovat sen ortokolmion sivujen pituudet a ∗ ,   b ∗   j a   c ∗ {\displaystyle a^{*},\ b^{*}\ ja\ c^{*}}

a ∗ = a | cos ⁡ α | , {\displaystyle a^{*}=a|\cos \alpha |,}
b ∗ = b | cos ⁡ β | {\displaystyle b^{*}=b|\cos \beta |} ja
c ∗ = c | cos ⁡ γ | . {\displaystyle c^{*}=c|\cos \gamma |.} [3]

Ortokolmion pinta-ala on

A O = a b c | cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ γ | 2 R , {\displaystyle A_{O}={\frac {abc|\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma |}{2R}},} [3]

missä R on alkuperäisen kolmion △ A B C {\displaystyle \scriptstyle \triangle ABC} ympäröivän ympyrän säde.

Referenssikolmion korkeusjanat, tai niiden jatkeet, ovat konkurrentit eli ne leikkaavat samassa pisteessä, jota kutsutaan ortokeskukseksi O. Korkeusjanat lähtevät myös ortokolmion kärjistä puolittaen näiden kulmat. Referenssikolmion ortokeskus on siten ortokolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste.[3][4][5]

Ympäri ja sisään piirretty ympyrä

Teräväkulmaisen kolmion korkeusjanat ovat ortokolmion kulmien kulmanpuolittajat.[6] Ortokolmion sisään voidaan piirtää ympyrä siten, että ympyrä sivuaa kaikkia sen sivuja. Tämän ympyrän keskipiste sijaitsee alkuperäisen kolmion ortokeskuksessa O.[1] Ympyrän keskipiste kuuluu Eulerin suoralle.[7] Sisään piirretyn ympyrän säde r H {\displaystyle r_{H}} on

r H = 2 R | cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ γ | , {\displaystyle r_{H}=2R|\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma |,} [3]

missä R on alkuperäisen kolmion ympäröivän ympyrän säde. Ortokolmion ympäri piirretyn ympyrän säde R H {\displaystyle R_{H}} on

R H = 1 2 R . {\displaystyle R_{H}={\tfrac {1}{2}}R.} [3]

Lähteet

  • Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 14.4.2013).
  • Kurittu Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste) 2006. Jyväskylän: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 14.4.2013.
  • Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 14.4.2013.

Viitteet

  1. ↑ a b Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s. 115–116
  2. ↑ Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 43
  3. ↑ a b c d e Weisstein, Eric W.: Orthic Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. ↑ Weisstein, Eric W.: Orthocenter (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. ↑ Lehtinen, Matti: Geometrian perusteita (Arkistoitu – Internet Archive), s. 40, 2011
  6. ↑ Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 26
  7. ↑ Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s. 48

Aiheesta muualla

  • University College Cork: Orthic Triangle (Arkistoitu – Internet Archive) (matematiikan olympialaisten valmennusmateriaalia)